傳送門

一個樸素的做法就是暴力連邊並查集，可是這是\(O(n^2)\)的。發現每一次連邊可以看成兩個區間覆蓋，這兩個區間之間一一對應地連邊。可線段樹對應的兩個節點的size可能不同，這會導致“一一對應”的條件在線段樹上失效。所以我們需要使用ST表來完成連邊。

對原序列建好ST表，對於每一個修改將兩個區間覆蓋到ST表上然後兩兩之間連邊。註意在ST表上連邊的兩個區間要對應，即如果ST表上對應\([l,r]\)的區間與對應\([L,R]\)的區間連了邊，意味著對於\(\forall i \in [0 , r - l],\)有邊\((l + i , L + i)\)。

這樣連邊的復雜度是\(O(nlogn)\)

但是我們可以把每一層ST表對應的並查集向下傳，直到傳到最底層。具體來說從上往下遍歷每一層ST表對應的並查集，找到第\(i\)個點和它在這一層並查集上的根。這兩個點在下一層的ST表中分別對應兩個點，而連邊的時候又是對應的，所以將它們的左兒子之間連邊、右兒子之間連邊即可。

總復雜度\(O(nlogn)\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
//This code is written by Itst
using namespace std;

inline int read(){
    int a = 0;
    char c = getchar();
    while(!isdigit(c))
        c = getchar();
    while(isdigit(c)){
        a = a * 10 + c - 48;
        c = getchar();
    }
    return a;
}

const int MAXN = 100007 , MOD = 1e9 + 7;
int ST[19][MAXN];
int N , M , cnt , logN , head[MAXN << 3] , dir[MAXN * 20] , fa[MAXN * 20];

void init(){
    for(logN = 0 ; 1 << logN <= N ; ++logN)
        for(int j = 1 ; j + (1 << logN) - 1 <= N ; ++j){
            ST[logN][j] = ++cnt;
            dir[cnt] = j;
            fa[cnt] = cnt;
        }
    --logN;
}

int find(int a){return fa[a] == a ? a : (fa[a] = find(fa[a]));}

void merge(int a , int b){fa[find(a)] = find(b);}

inline void add(int a , int b , int len){
    for(int i = 18 ; i >= 0 ; --i)
        if(len & (1 << i)){
            merge(ST[i][a] , ST[i][b]);
            a += 1 << i;
            b += 1 << i;
        }
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in","r",stdin);
    //freopen("out","w",stdout);
#endif
    N = read(); M = read();
    init();
    for(int i = 1 ; i <= M ; ++i){
        int a = read() , b = read() , c = read();
        read();
        add(a , c , b - a + 1);
    }
    for(int i = logN ; i ; --i)
        for(int j = 1 ; j + (1 << i) - 1 <= N ; ++j){
            int t = find(ST[i][j]);
            if(t != ST[i][j]){
                int x = dir[t];
                merge(ST[i - 1][j] , ST[i - 1][x]);
                merge(ST[i - 1][j + (1 << i - 1)] , ST[i - 1][x + (1 << i - 1)]);
            }
        }
    bool f = 0;
    int ans = 1;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
        if(fa[i] == i){
            ans = ans * (9ll + f) % MOD;
            f = 1;
        }
    cout << ans;
    return 0;
}
 

LOJ2014 SCOI2016 萌萌噠 並查集、ST表優化連邊