重溫離散數學系列①之什麼是證明
什麼是證明
Definition(證明的定義)
A mathmatical proof of a proposition is a chain of logical deduetions leading to the proposition from a base of axioms.
譯：命題的數學證明是從公理得出命題的一系列的邏輯推論。
命題的定義
命題是真假客觀存在的陳述句。
- 可以客觀準確給出真假的語句才是命題。
比如：“有外星人”，“給我這本書”，“php是世界上最好的語言”都不是命題。 - 真假性隨時間環境變化的語句也不是命題。
比如：“現在是五點鐘”，“明天股票會漲”，“今天天氣不錯”都不是命題。
###歷史上著名的命題
- 尤拉猜想(Euler's Conjecture) ： 若a,b,c,d都是正整數，等式
\[a^4+b^4+c^4=d^4\]無解。 - 四色定理(Four Color Theorem) ：用四種顏色給地圖著色，可以使每張地圖相鄰區域的顏色各不相同。
- 費馬大定理(Fermat's Last Theorem)： 當整數n>2時，\(x^n+y^n=z^n\)沒有正整數解。
- 哥德巴赫猜想(Goldbach's Conjecture) ：任意大於2的偶數都是兩個質數的和。
謂詞語句
definition:真假性取決於一個或多個變數的語句。如：“n是一個完全平方數”就是謂詞語句，只有知道n的值，才能確定它的真假。
謂詞語句通常用”定義“符號: " : = "
p(n) : = "n是一個完全平方數"。當n=4時，即p(4)命題為真；p(5)命題為假。- 謂詞語句不是命題，因為它的真假性無法判斷。
要想讓謂詞語句變成一個命題，有兩種方法：
- n 取值，如上述的p(4),p(5)就是命題。
- 量詞 (∀,∃)，如“ ∃n,使得n是一個完全平方數 ”就是命題。
常見的證明方法
證明的原則：
- 在考慮證明的邏輯步驟時，你的草稿可以比驕混亂，但是最終的證明應當是清晰的，簡明的。
- 證明通常以“證明”一詞開始，以某種分隔符如■或“QED”結束。這些約定只是為了明確證明從哪裡開始，哪裡結束。
1.直接證明法
從條件(前介)直接推出結果(後介)
例：如果\(0\leq x \leq 2\)，則\(-x^3+4x+1>0\)
證明. 假設\(0\leq x \leq 2\)。那麼x，2-x，2+x都是非負的。因此有：\[-x^3+4x+1=x(2-x)(2+x)+1>0\]原命題得證。 ■
2. 證明逆反命題
一個命題的真假性和它的逆否命題一致，若要證明命題為真，只需證明它的逆否命題為真即可。
- 例： 證明如果 r 是無理數，\(\sqrt{r}\) 也是無理數
證明. 我們使用逆否命題來證明，即 \(\sqrt{r}\) 是有理數，r 也是有理數 。
設 \(\sqrt{r}=\frac{n}{m}\) (其中 n，m 均為整數), 則 \(\sqrt{r}=\frac{n^2}{m^2}\). 顯而易見，r 必是有理數，逆否命題得證，原命題得證。 ■
3. 證明當且僅當問題
“當且僅當”敘述時通常簡寫為“IFF”。語句“p IFF q ”等價於“P IMPLIES Q”以及“Q IMPLIES P”。因此，要證明IFF，我們需要證明兩個蘊含。(即證明充分性和必要性)
4. 反證法
反證法，又稱間接證明法。它首先假設某命題成立（即在原命題的條件下，結論不成立），然後推理出明顯矛盾的結果，從而下結論說原假設不成立，原命題得證。
例：證明\(\sqrt{2}\)是無理數
證明. 我們使用反證法證明，即設 \(\sqrt{3}\) 是有理數，那麼我們可以將 \(\sqrt{3}\) 寫成最簡分式 \(\frac{n}{m}\)。
兩邊同時平方，得 \(3=\frac{n^2}{m^2}\) ,有：\(3m^2 = n^2\)。
易知n是3的倍數，所以 n^2是9的倍數 。又因為 \(n^2=3m^2\) , 故 \(3m^2\) 也是 9 的倍數，即 \(m^2\) 為 3 的倍數，由證明可得 m 也為 3 的倍數。
n,m 同時為 3 的倍數，故\(\frac{n}{m}\)不可能為最簡分式，與條件相矛盾 ，故 √ 3 是無理數。
原命題得證。 ■
5. 分情況討論
將複雜的證明分解成案例，然後分別證明每一個案例，這是一種常見的，很有用的證明策略。
例：證明任意 6 個人中，總是 3 個人互相認識或互相不認識
證明. 設x是六個人中的一個。我們分情況討論：
情況1. 剩下的5個人中至少3個和x認識
情況1.1：這些人相互都不認識對方。那麼，這些人就是至少3個的陌生人組，定理成立。
情況1.2：這些人中有的見過對方。那麼，這兩個人和x就構成了3個認識人組，定理成立。
情況2. 剩下的5個人中至少3個和x不認識
情況2.1：這些人相互都認識對方。那麼，這些人就是至少3個的認識人組，定理成立。
情況2.2：這些人中有的不認識對方。那麼，這兩個和x就構成了3個陌生人組，定理成立。
原命題得證。 ■
一些習題
第一章習題(選做)
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