二維平面中，影象的幾何變換有等距、相似、仿射、投影等，如下所示：

1  圖象幾何變換

1.1  等距變換

    等距變換 (Isometric Transformation)，是一種二維的剛體變換，可理解為旋轉和平移的組合

   $\quad \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & t_x \\ \sin \theta & \cos \theta & t_y \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1\end{bmatrix}  =\begin{bmatrix} R_{2 \times 2} & T_{2 \times 1} \\ 0_{1 \times 2} & 1_{1 \times 1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\1 \end{bmatrix}$

    其中， $R=\begin{bmatrix} \cos \theta &-\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ 為旋轉矩陣， $T=\begin{bmatrix}t_x \\ t_y \end{bmatrix}$ 為平移矩陣

    想象一個無限大的光滑平面上，放一張極薄的影象照片，讓它只能在平面內做旋轉和平移運動，則這樣的運動就是等距變換

    -- 配圖

1.2  相似變換

  相似變換 (Similarity Transformation)，是一個等距變換和各向均勻縮放的組合

   $\quad \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s \cos \theta & -s\sin \theta & t_x \\ s \sin \theta & s \cos \theta & t_y \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sR_{2 \times 2} & T_{2 \times 1} \\ 0_{1 \times 2} & 1_{1 \times 1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\1 \end{bmatrix}$，其中 $s$ 為縮放係數

   想象無限大光滑平面內的一張圖片，在旋轉和平移的過程中，其大小也會均勻縮放，則這樣的變換就是相似變換

   -- 配圖

1.3  仿射變換

1.3.1  定義

    仿射變換（Affine Transformation)，是一個非奇異線性變變換 (矩陣乘法) 和 平移變換 (向量加法) 的組合

    矩陣表示式為 $\quad \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_x \\ a_{21} & a_{22} & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} A_{2 \times 2} & T_{2 \times 1} \\ 0_{1 \times 2} & 1_{1 \times 1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\1 \end{bmatrix}$

    其中，當 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ 是非奇異時，稱 $A$ 為仿射矩陣

1.3.2  分解

    仿射矩陣 $A$ 可分解為：旋轉和各向 (正交) 非均勻縮放

    $\quad A = R(\theta) R(-\phi) D R(\phi)$，其中 $D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}$是一個對角矩陣

    首先，旋轉角度 $\phi$；然後在 $x$ 和 $y$ 方向上 (其中 $x\perp y$) 分別縮放 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$；再旋轉角度 $-\phi$，也即迴轉 $\phi$；最後旋轉角度 $\theta$

2  OpenCV 函式

2.1  仿射變換的矩陣

    仿射變換有 6 個未知數 ($\phi, \theta, \lambda_1, \lambda_2, t_x, t_y$)，需列 6 組方程，而一組對應特徵點 $(x,y)$ -> $(x′,y′)$ 可構造 2 個方程，因此，求解 6 個未知數，需要 3 組對應特徵點

    OpenCV 中 getAffineTransform() 可求解 2x3 矩陣 $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_{x} \\ a_{21} & a_{22} & t_y \end{bmatrix}$     

  Mat getAffineTransform (
      const Point2f    src[],  // 源影象的三角形頂點座標
      const Point2f    dst[]   // 目標影象的三角形頂點座標
  )   

    其程式碼實現比較簡單，先構建方程組，再利用 solve() 求解 $Ax=b$   

Mat getAffineTransform(const Point2f src[], const Point2f dst[])
{
    Mat M(2, 3, CV_64F), X(6, 1, CV_64F, M.ptr());
    double a[6 * 6], b[6];
    Mat A(6, 6, CV_64F, a), B(6, 1, CV_64F, b);

    for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
        int j = i * 12;
        int k = i * 12 + 6;
        a[j] = a[k + 3] = src[i].x;
        a[j + 1] = a[k + 4] = src[i].y;
        a[j + 2] = a[k + 5] = 1;
        a[j + 3] = a[j + 4] = a[j + 5] = 0;
        a[k] = a[k + 1] = a[k + 2] = 0;
        b[i * 2] = dst[i].x;
        b[i * 2 + 1] = dst[i].y;
    }

    solve(A, B, X);
    return M;
}

2.2  相似變換的矩陣

    對於相似變換，有 4 個未知數 ($s, \theta, t_x, t_y$)，對應 OpenCV 中的 getRotationMatrix2D() 函式    

  Mat getRotationMatrix2D (
      Point2f     center,  // 原影象中的旋轉中心點
      double      angle,   // 旋轉角度(正值代表逆時針旋轉)
      double      scale    // 均勻縮放係數
  )

    該函式可得到如下矩陣：

    $\begin{bmatrix} \alpha & \beta & (1- \alpha ) \cdot \texttt{center.x} - \beta \cdot \texttt{center.y} \\ - \beta & \alpha & \beta \cdot \texttt{center.x} + (1- \alpha ) \cdot \texttt{center.y} \end{bmatrix}$

    其中 $\alpha=scale \cdot \cos angle$，$\beta=scale \cdot \sin angle$

2.3  仿射變換的圖象 

     已知仿射變換的 $A_{2 \times 2}$ 和 $T_{2 \times 1}$ ，將原影象帶入 warpAffine() ，便可得到仿射變換後的目標影象        

void warpAffine(
    InputArray      src,    // 輸入圖象
    OutputArray     dst,    // 輸出影象(大小為 dsize，型別同 src)
    InputArray       M,     // 2x3 矩陣
    Size            dsize,  // 輸出影象的大小
    int  flags = INTER_LINEAR,
    int  borderMode = BORDER_CONSTANT,
    const Scalar& borderValue = Scalar()
)

3  程式碼示例

    首先利用三角形的頂點，代入 getAffineTransform() 得到仿射變換的矩陣；再用 getRotationMatrix2D() 構造相似變換的矩陣；然後，求解經過相似變換和仿射變換的影象；最後，顯示對比變換後的目標影象

#include "opencv2/core.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"
#include "opencv2/imgcodecs.hpp"
#include "opencv2/highgui.hpp"

using namespace cv;

int main()
{
    // 1) read image
    Mat src = imread("horse.jpg");
    
    // 2) triangle vertices
    Point2f srcTri[3];
    srcTri[0] = Point2f(0.f, 0.f);
    srcTri[1] = Point2f(src.cols - 1.f, 0.f);
    srcTri[2] = Point2f(0.f, src.rows - 1.f);

    Point2f dstTri[3];
    dstTri[0] = Point2f(0.f, src.rows * 0.33f);
    dstTri[1] = Point2f(src.cols * 0.85f, src.rows * 0.25f);
    dstTri[2] = Point2f(src.cols * 0.15f, src.rows * 0.7f);

    // 3.1) getAffineTransform
    Mat warp_mat1 = getAffineTransform(srcTri, dstTri);// 3.2) getRotationMatrix2D
    Mat warp_mat2 = getRotationMatrix2D(Point2f(0.5*src.cols, 0.5*src.rows), 45, 0.5);
    
    // 4) warpAffine image
    Mat dst1,dst2;
    warpAffine(src, dst1, warp_mat1, Size(src.cols, src.rows));
    warpAffine(src, dst2, warp_mat2, Size(src.cols, src.rows));
    
    // 5) show image
    imshow("image", src);
    imshow("warp affine 1", dst1);
    imshow("warp affine 2", dst2);

    waitKey(0);    
}

      檢測結果對比如下：

參考資料

    《Computer Vision: Algorithms and Applications》 Chapter 2 Image Formation

    《Multiple View Geometry in Computer Vision》   2.4  A hierarchy of transformations

    OpenCV Tutorials / Image Processing (imgproc module) / Affine Transformations

    OpenCV-Python Tutorials / Image Processing in OpenCV / Geometric Transformations of Images 

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