如圖，一個曲線方程 \(f(x)\)，在它的 \(f(x_n)\) 處畫一條切線與 \(x\) 軸相交，交點為 \(x_{n+1}\)，如果繼續在它的 \(f(x_{n+1})\) 處畫一條切線與 \(x\) 軸相交，會得到交點 \(x_{n+2}\)。然後重複這個過程，可以發現交點 \(x_{n+m}\) 會無限逼近方程 \(f(x)=0\) 的解，最終可以得到一個與理想值無限靠近的解。

關於為什麼可以用這個方法，或者說，可以用這個方法的函式有什麼條件，可以參考維基百科：

而我們這裡討論的是求平方根，很顯然可以使用這個方法。比如，我們要求 N 的平方根。可以分為一下幾個步驟：

• 將問題轉化為求方程 \(f(x) = x^2 - N\)
  ，當 \(f(x) = 0\) 時方程的解。
• 函式 \(f(x)\) 的導函式是：\(f^{'}(x)=2x\)
• 那麼 \(f(x)\) 函式的曲線在 \((x_n,x_n^{\ 2}-N)\) 點處切線的斜率為：\(2x_n\)
• 那麼切線函式為：\(g(x) = 2x_n(x-x_n) + (x_n^{\ 2} - N)\)，即：\(g(x) = 2x_nx - x_n^{\ 2} - N\)
• 所以切線與 \(x\) 軸的交點 \(x_{n+1} = \displaystyle\frac{x_n + \frac{N}{x_n}}{2}\)
• 最後，我們將得到的交點值的平方與 \(N\) 比較，迴圈以上過程直至得到滿意的值。

對於 \(x_1\) 的值，我們選擇 \(N\) 就好。

C 程式碼：

double abs(double x)
{
    return x < 0 ? -x : x;
}

/**
 * 精度為 0.00001
 * @param x
 * @return
 */
double sqrt(double x)
{
    if (x < 0)
        return 0;
    else
    {
        double err = 0.00001; // 設定誤差範圍，當誤差小於這個值時我們認為得到了準確值
        double root = x;
        while (abs(x - root * root) > err)
            root = (root + x / root) / 2; // 運用牛頓迭代法的公式進行計算
        return root;
    }
}
 

參考：https://blog.csdn.net/chenrenxiang/article/details/78286599