假設現在輸入一個整數，希望通過某種方式來求得該整數的平方根，要求得到儘可能大的精度。

和 LeetCode 上的原題 LeetCode 69 不同，這裡要求得到儘可能大的精度，因此一般的二分法無法處理這個問題

處理思路

考慮定義一個函式 \(f(x) = x ^ 2 - a\)，那麼當 \(f(x)\) 為 \(0\) 時，所對應的正 \(x\) 座標就是 \(a\) 的平方根。現在，在 \(f(x)\) 上的任意一點，做出 \(f(x)\) 處對應的切線，此時的橫座標為 \(x_i\)，這條切線和 \(X\) 軸的交點的橫座標為 \(x_{i + 1}\)，具體如下圖所示：

由於在 \(f(x)\)

將該關係進行轉換，可以得到 \(x_{i + 1}\) 和 \(x_i\) 之間的對應關係：

由於 \(f(x) = x^2 - a\)，由求導公式可得 \(f'(x) = 2x\)，將其帶入上述的公式可得：

當 \(x_i\)

即經過不斷地迭代，最終結果收斂於 \(\sqrt a\)

編碼實現

public static double sqrt(int n) {
    int ub = 20; //  20 次左右的迭代可以解決 32 位有符號整數的平方根
    double y = 0.5 * n; // 初始值預設為 0.5 倍的 n，如果能夠取得更好的初始值，演算法效能會有進一步的提升
    double rootx = Math.sqrt(n); // 實際平方根，用於比較
    for (int i = 0; i < ub; ++i) {
        System.out.printf("%05d: %25.16f %25.16f\n", i, y, Math.abs(y - rootx) / rootx);
        double newy = 0.5*(y + (double) n / y); // 迭代
        if (newy == y) {
            System.out.println("Converged");
            break;
        }
        y = newy;
    }

    return y;
}
 

時間複雜度：可以看到，如果有一個合適的初始值，牛頓迭代法可以是一個常數時間內的操作，即 \(O(1)\)

空間複雜度：只需要少量的幾個中間變數，因此空間複雜度為 \(O(1)\)

參考：

^[1] 《程式設計珠磯（續）》Jon Bentley 第 14 章 編寫數值計算程式