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計算機最基本的工作是處理資料，而資料的最底層表現形式是二進位制，並非是我們人類熟悉的十進位制。可以這麼認為，計算機其實是很“笨的”，它只理解二進位制資料。

今天，主要介紹計算機是怎樣做加減運算的。你可能會想，加減運算？這麼簡單的事情，還用介紹？也許還真不是你想的那樣。

計算機的運算是由CPU 完成的，而CPU 只會做加法運算，不會做減法運算，那計算機怎樣完成減法工作呢？

1，二進位制數

我們先來看看二進位制數。

二進位制數是由0，1 組成的，比如：

• 十進位制的5，用二進位制表示是 101。
• 十進位制的7，用二進位制表示是 111。

數字由正數和負陣列成。為了表示正負數，計算機中就有了有符號數和無符號數之分：

• 無符號數：英文為 unsigned，只能表示正數。
• 有符號數：英文為signed，即能表示正數，又能表示負數。

C/C++ 語言中的數字有有符號數和無符號數之分。
Java 語言所有的數字都是有符號數。

假如，我們用 4 位二進位制，來表示無符號數，也就是隻表示正數，能表示的範圍是 0 到 15，轉換關係如下表：

有符號數，即要表示正數，也要表示負數。

要用二進位制表示有符號數，需要用二進位制的最高位來表示符號，0 表示正，1 表示負。所謂的最高位，也就是最左邊那一位。

用 4 位二進位制，來表示有符號數，能表示的範圍是 -8 到 7，轉換關係如下表：

上表中的最高位的符號位，已標紅。

要注意，對於有符號的4 位二進位制 ----1000 不是 -0，而是 -8。

可以總結出，對於N 位的二進位制數：

• 無論是表示有符號數還是無符號數，都能表示2^N 個數字。
• 若用於表示無符號數，則能表示的範圍是 [0, 2^N - 1]。
• 若用於表示有符號數，則能表示的範圍是 [-2^(N-1), 2^(N-1) - 1]。
  • 需要注意，在有符號數中，對於符號位是 1，後面 N-1 位全是 0，這種情況表示的是 -2^(N-1)(也就是所能表示的最小值)，而不是 -0。
  • 實際上是將-0 這種情況解釋成了最小值，否則就會出現 +0 和 -0 兩個0。

2，二進位制原碼

上面介紹到的二進位制就是原碼形式。

原碼就是除符號位外的其他位，儲存該二進位制數的絕對值。

用原碼進行加法計算

計算機中的數字運算都會先轉成二進位制數再進行計算。

我們用原碼來計算加法，用4 位二進位制數來計算 3 + 2，過程如下：

可以看到，用原碼計算加法是沒有問題的。

用原碼進行減法計算

我們再用原碼來計算減法，因為CPU 只會計算加法，所以計算減法時，會將減法轉換成加法。

比如，用4 位二進位制數來計算計算 3 - 2，會將其轉換成 3 + (-2)， 過程如下：

可以看到 3-2 計算出來的結果是 -5，顯然是錯誤的。

所以，用二進位制原碼來計算減法是行不通的。實際上，計算機計算減法用的是補碼。

在介紹補碼之前，我們先來看下什麼是溢位。

3，數字溢位

計算機中數字的表示是需要記憶體空間的，不同型別的數字所能佔用的空間是不一樣的。

比如，在Java 語言中short 型別佔用 2 個位元組，int 型別佔用 4 個位元組。

一個位元組等於 8 位。

既然空間大小是有限制的，所以計算機中的數字也是有範圍的，即上限和下限，如果數字超出限制，就會產生溢位。超出上限叫上溢位，超出下限叫下溢位。而溢位的部分會直接被捨去。

就像我們在上文中介紹的，對於N 位二進位制有符號整數，所能表示的範圍是 [-2^(N-1), 2^(N-1) - 1]。

由於溢位的部分會被捨去，那麼最大值加1，將發生上溢位，變為最小值；最小值減1，將發生下溢位，變為最大值。

我們用Java 中的int 型別來驗證，Java 中int 型別的最大、最小值分別是：

• 最大值：Integer.MAX_VALUE，是 2147483647。
• 最小值：Integer.MIN_VALUE，是 -2147483648。

用下面程式碼驗證：

System.out.println(Integer.MAX_VALUE + 1 == Integer.MIN_VALUE); // true
System.out.println(Integer.MIN_VALUE - 1 == Integer.MAX_VALUE); // true

這兩行程式碼的輸出均為true，說明最大值加1 變為最小值，最小值減1 變為最大值。

所以，在計算機中，只要一個整數的型別確定了，那麼它所能佔用的記憶體空間大小也就確定了，從而它所能表示的數字範圍也就確定了。那麼不管給這個整數加多大的數字，或者減多大的數字，最終的結果都只能在這個範圍內旋轉。

就像錶盤一樣，當錶針走過最大值的時候，就變成了最小值。

同樣，這也等同於數學中的取餘運算。只要分母確定了，不管分子是多大，或者多小的數字，最終的結果也都是在一個確定的範圍之內。

比如我們對十進位制5 進行取餘計算，那麼最終的結果都是在[0, 4] 範圍之內，如下：

• 0 % 5 = 0
• 2 % 5 = 2
• 397 % 5 = 2
• 99999 % 5 = 4

可以總結出，對數字N 進行取餘，N >= 2 且為整數，那麼結果都在 [0, N-1] 範圍之內。

4，二進位制反碼與補碼

知道了溢位，就可以介紹CPU 如何計算減法了。CPU 的減法運算使用了二進位制補碼，補碼實際上就是採用了溢位的原理。

我們直接給出反碼與補碼的定義：

• 反碼定義：正數的反碼等於其原碼，負數的反碼是其原碼除符號位外，按位取反。
• 補碼定義：正數的補碼等於其原碼，負數的補碼是其反碼加1。

比如下面的幾個數字：

我們用4 位二進位制補碼來計算 3+(-2)，如下：

最高位的1 發生上溢位，直接被捨去，所以結果是正確的。

所以，要記住，真實的計算機中的二進位制是用補碼錶示的，而不是原碼。

5，總結

本篇文章主要介紹了：

• CPU 只能做加法，不能做減法，減法要轉成加法做計算。
• 二進位制數字有三種表示方式：
  • 原碼：除符號位外的其他位，儲存該二進位制數的絕對值。
  • 反碼：正數的反碼等於其原碼，負數的反碼是其原碼除符號位外，按位取反。
  • 補碼：正數的補碼等於其原碼，負數的補碼是其反碼加1。
• 計算機中的數字採用二進位制補碼錶示，而不是原碼錶示。
  • 補碼採用了溢位的原理。
• 計算機中的數字是有範圍限制的，超出限制會發生溢位。
  • 超出上限叫做上溢位。最大值加1會發生上溢位，變為最小值。
  • 超出下限叫做下溢位。最小值減1會發生下溢位，變為最大值。

（本節完。）

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