文章目錄

• 背景
• 什麼是移位運算，如何做
• • int型變數在64位機器中佔多少個二進位制位
  • 移位前後數值的大小關係
• 回到文章開頭的題目

背景

在看《Absolute C++》時遇到的。判斷以下程式碼的輸出內容：

int i=1;
while (i<<=10)
{
    cout << i << endl;
    i += 3;
}

上面while判別式中i<<=10可不是小於或遠小於的大小關係比較，而是移位運算的表示式，相當於i = i << 10。那麼結果如何呢？

• C++中賦值是一種表示式，該表示式的返回值為所賦的值
• 那也就是看上面的程式碼中，“先左移10位，再加十進位制3”這一對操作，會不會有某一次使左移之後的值為0

什麼是移位運算，如何做

各種變數在計算機中都是以二進位制的形式存在，比如十進位制1就是10，移位運算就是直接操作該變數的二進位制數，二進位制又有“原碼、反碼、補碼”（看這篇筆記二進位制：原碼反碼與補碼），移位運算的操作物件是補碼。

移位的分類，根據移位方向不同，分為：

• 左移位<<：符號位不參與移動，把二進位制補碼整體向左移動多少位
  • 無論正數還是負數，向左移動之後右邊空出來的位，用0補
• 右移位>>：符號位不參與移動，二進位制補碼向右移動多少位
  • 向右移動之後左邊與符號位之間空出來的位，用符號位補
    • 正數的話，符號位為0，用0補
    • 負數的話，符號位為1，用1補

int型變數在64位機器中佔多少個二進位制位

其實這一塊主要是答疑：十進位制1的二進位制10，那左移2位之後為啥不是二進位制00、十進位制0，而是變成了十進位制4.

其實答案就是，十進位制1的二進位制10，並不是只佔兩個二進位制位，在10兩位的左側，還有很多個二進位制位。多少個呢：

int型變數一般長度為4個位元組，每個位元組為8個二進位制位，那麼總長也就是4*8=32位。

所以只要左移不超過32-2=30位，就不會移出被丟棄。

移位前後數值的大小關係

從二進位制到十進位制的轉換可以瞭解其關係：

二進位制：0 0 1 1 0 1 0
十進位制：$ 2^4 + 2^3 + 2^1$

如果左移1位：

二進位制：0 1 1 0 1 0 0
十進位制：$ 2^5+2^4+2^2=2*(2^4 + 2^3 + 2^1)$
 

結論：

• 左移的時候，如果沒有移出左邊界，則 結 果 = 原 數 ∗ 2 移 動 的 位 數 結果 = 原數 * 2^{移動的位數} 結果=原數∗2移動的位數

  • 怎麼判斷有沒有移出呢？該數原來的二進位制數最左側的1在第幾位 and 該型別的所佔位數

• 右移的時候，如果沒有移出左邊界，則 結 果 = 原 數 / 2 移 動 的 位 數 結果 = 原數 / 2^{移動的位數} 結果=原數/2移動的位數

回到文章開頭的題目

int i=1;
while (i<<=10)
{
    cout << i << endl;
    i += 3;
}

十進位制1與十進位制3的原碼與補碼：

            原  碼                       補  碼
1   0000 0000 ... 0000 0001     0111 1111 ... 1111 1111
3   0000 0000 ... 0000 0011     0111 1111 ... 1111 1101
    -----------------------     -----------------------
            共32位                       共32位
0   0000 0000 ... 0000 0000     0000 0000 ... 0000 0000

注意int型，32位，可表示範圍為[2^32/2, 2^32/2=214 748 364 8)

首先，對補碼進行左移位操作，每次左移10位，移位之後右邊的空位補0；

其次，while判別式中實際上是一個表示式 i = i << 10
↓
那也就是判斷，每次左移10位再加十進位制3，會不會有一次遇到i=0的情況：

• 第一次判斷時， i = 1 ∗ 2 10 = 1024 i=1*2^{10}=1024 i=1∗210=1024，非0，進入while
  • +3, i = 2 10 + 3 = 1027 i=2^{10}+3=1027 i=210+3=1027
• 第二次判斷時， i = 1027 ∗ 2 10 = 1051648 i=1027*2^{10}=1051648 i=1027∗210=1051648，非0，進入while
  • +3, i = 1051648 + 3 = 1051651 i=1051648+3=1051651 i=1051648+3=1051651
• 第三次判斷時， i = 1051651 ∗ 2 10 = 1076890624 i=1051651*2^{10}=1076890624 i=1051651∗210=1076890624,非0, 且沒有超出右邊界，進入while
  • +3, i = 1076890624 + 3 = 1027890627 i=1076890624+3=1027890627 i=1076890624+3=1027890627
• 第4次及之後判斷時，$i_{n-1}*1024 > 右邊界，輸出結果不確定性

這樣二進位制與十進位制轉換，太麻煩了，如果只是判斷while迴圈會不會停止的話，可以僅分析二進位制。0的二進位制各位均為0，只要看某次+3（二進位制再左移10位後是否各位均為0即可：

• 十進位制1的二進位制，僅最右側有1個1，左移10位後，右邊10位均為0；
• 加十進位制3後，看上面3的補碼，右邊10位有9個1，所相加之後右10位與3的補碼相同，含有1
• 進入while判別式，再左移10位，然後再加3，右邊的9個1一直無法移出去，也就是說始終無法達到全0，即十進位制0，所以while無限迴圈。