在這篇博文中，我希望能從數學的角度幫助你理解計算機中的補碼世界，並嘗試解釋以下問題：

• 符號位為什麼是最高位，為什麼1 表示負，0 表示正？0 表示正，1 表示負，為啥不是 0 表示負，1 表示正？

• 為什麼補碼 1000 0000 表示 -128 ?

• 為什麼補碼能夠實現減法運算？

關於原碼、反碼、補碼的計算這裡就不贅述了，但是如果你對於原碼、反碼、補碼的計算還是通過一個數 -> 二進位制原碼 -> 正數不變，負數保持符號位，其他位取反 得反碼 -> 反碼+1得補碼

另外也有上面的3個疑問的話

我強烈建議你忘掉之前關於原碼、反碼和補碼的認知

我首先丟擲三個問題，希望你帶著這三個問題去閱讀，當你能給出這兩個問題的答案的時候，上面的3個問題也有答案了

1. 同餘的定義和意義是什麼？
2. 在4位系統中，怎麼去表示負數？
3. 在8位系統中，怎麼做減法運算？

1. 環形系統、模、同餘

在一個環形系統中，能表示的數是有限的。例如在下面的錶盤中，你能表示的數只有0~11，大於等於12的數，會被捨棄一部分，再在錶盤上表示出來。

比如15點，在鐘錶上表現的是3。當錶針越過11的時候，又從0開始，直到3。如果在鐘錶的世界裡，要表示27呢？鐘錶上無法表示準確的數字，27在這裡只能被表示為3。準確地說，在超出這個系統極限值的時候，這個系統只能用「餘數」來計量

在這裡，所有被12除，餘數為3的數，都被歸為1類。在這裡，還有餘數為0、1、2...11的類

而15和27，稱為 15和27關於模12同餘

在這個系統中，能表示的數只有「餘數」，錶盤上的數字都是被12除後的餘數

我們可以這樣理解這個系統：這個系統將整數分成了12類——被12除餘0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的類

我們來看看「什麼是奇數？什麼是偶數？」

偶數是被2除餘0的整數，奇數是被2除餘1的整數。

通過模2我們將整數分成了兩類：餘0和餘1的數，也就是偶數和奇數

回到我們的錶盤，通過模12，所有的整數也能被分成12類，分別是餘0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的類

所有的整數對模12做取模運算，按照它們的餘數我們可以給它們分類。

\[1\ \text{mod} \ 12 = 1\\ 13\ \text{mod} \ 12 = 1\\ -11\ \text{mod} \ 12 = 1\\ -23\ \text{mod} \ 12 = 1\\ \]

1、13、-11、-23是同一類！

到這裡，我們可以給出第一個問題的答案了。關於同餘是這樣定義的：如果兩個數a、b除以模m，餘數一樣，就稱整兩個數關於模m同餘，記為

\[a \equiv b\ (\text{mod}\ m) \]

同餘的意義就是分類！

2. 計算機世界

很容易理解計算機實際上就是一個環形系統。我們以4位bit來看看

在這個系統中，我們怎麼表示負數呢？比如說 -2 ?既然這是一個環形系統，結合同餘來看這個世界會變得極其容易。

根據同餘，-2 在這裡和14 是同一類!所以我們可以用 14 的機器碼來表示 -2

14 的機器碼是 1110

現在問題出現了，1110 原來就是表示正數的14的，現在又要表示-2。那麼當機器給我們這個二進位制的時候，我們到底是把它看做14還是-2呢？

我們有一種做法：就是把0~15個數分成了兩組，0~7的機器碼還是代表原來的0~7，8~15的機器碼錶示了-8~-1

當我們採用了上述這種分法的時候，歡迎來到補碼的世界。這正是我們現在的計算機世界——補碼世界

我們分別算一下-8~-1的關於模16的同餘數以及同餘數的二進位制機器碼

這些表示是不是很熟悉？最高位的 1 表示負號，補碼 1111 轉反碼 1110 轉原碼 1001 = -1。符號位 1 表示負數，0 表示正數，不是拍腦袋決定的，而是基於同餘的思想

說到底，補碼的世界就是同餘的世界啊！！！

到這裡，我們可以解釋負數在4位系統中的表示了。通過引入了同餘，將這個世界中一半的大數轉為了小數對應的負數

3. 8位系統中的減法運算

通過引入同餘/補碼，我們可以表示負數，可以只用加法器實現減法運算

在這個補碼/同餘的世界裡，原生支援減法運算！！！

很容易得到，在8位系統中，mod = 1 0000 0000 = 256，負數的範圍是-128 ~ -1，正數是0 ~ 127

來看兩個例子：

「例子1」： 30 - 70 = ?

記住這是一個補碼的世界，我們沒必要管原碼和反碼，讓它們見鬼去吧！！！

30 的補碼是0001 1110，這個很順利，我們直接轉二進位制就行了，因為 30 三 30 (mod 256)

-70 有點波折，因為我們需要知道它佔用了哪個同餘數的機器碼，256 - |-70| = 186。它佔用了186 的機器碼，也就是 1011 1010

兩個機器碼直接相加得到 1101 1000。這是補碼！！直接轉是216。但是這個值大於127，我們知道這個數的機器碼被它的同餘數-40 佔用了

因為256 - |-40| = 216

「例子2」： 100 - 50 = ?

在這裡，我們嘗試進入補碼世界，但是不用二進位制表示，為了符合我們直觀

記住這是一個環形世界，306 在這個世界和 50 是一類。 306 三 50 (mod 256)，50 的機器碼並沒有被佔用，所以最終的答案就是 50

總結一下上面兩個例子，在8位系統中，模是256。能表示的數是 -128 ~ 127。超出這個範圍的數都會根據同餘被歸到其中的一類

為了說明補碼原生支援減法。我們想象一個8位系統，我們希望它能表示的數的範圍是 -100 ~ 155

現在計算 50 - 30 和 30 - 50

看到了嗎？在這個補碼的世界裡，才不管你是怎麼分的，分成-128 ~ 127 也好，分成 -100 ~ 155 也罷，老子天然支援減法運算

4. 帶著補碼武功進入8位系統江湖中

為了幫助你融會貫通補碼這門武功，我決定帶著你闖蕩一遍8位系統的江湖。在這裡，不用管1 和 0，二進位制也好，16進位制也好，思想都是一樣的。

我們再來計算 109 - 9 和 9 - 109，記住，不要用 1 和 0 的機器碼，我們純用補碼的思想（也就是同餘）來搞事

到了這裡，是不是覺得補碼也就那麼回事了。

現在，你是不是可以自己解決開篇的三個疑問了呢？帶著同餘的思想去幹掉這三個疑問吧！！