二維差分

我們有一個矩陣，如下圖所示：

假設我們有這麼一個矩陣：

1 2 4 3
5 1 2 4
6 3 5 9

二維字首和公式：

 sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+arr[i][j];

差分：

如果我們要在左上角是 (x1,y1)，右下角是 (x2,y2) 的矩形區間每個值都 +a，如下圖所示

在我們要的區間開始位置（x1,y1）處 +c，根據字首和的性質，那麼它影響的就是整個黃色部分，多影響了兩個藍色部分，所以在兩個藍色部分 -c 消除 +c 的影響，

而兩個藍色部分重疊的綠色部分多了個 -c 的影響，所以綠色部分 +c 消除影響。所以對應的計算方法如下：

diff[x1][y1] += c;
diff[x1][y2+1] -=c;
diff[x2+1][y1] -=c;
diff[x2+1][y2+1] += c;

差分矩陣：

diff[i][j]=arr[i][j]-arr[i-1][j]-arr[i][j-1]+arr[i-1][j-1];

差分陣列為：

1 1 2 -1
4 -5 -1 3
1 1 1 2
-6 3 -2 -4

求區間值：

要求左上角是(x1,y1),右下角是(x2,y2)的矩形區間內的值處理出字首和後也可以O(1)時間內求出來。

我們要求紫色部分的值，我們已知的是黃色部分的值，但它多了兩個藍色部分的值，而兩個藍色部分有重疊了個綠色部分

sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1]

例題：

題目描述

輸入

輸出

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;


const int MAXN = 1e3+6;
const int MAXM = 1e3+6;
int a[MAXN][MAXM] = {};
int diff[MAXN][MAXM] = {};
 
int main() {
    int n,m,q;
    freopen("data1.txt","r",stdin);
    cin>>n>>m>>q;
    int i, j;
    for (i=1; i<=n; i++) {
        for (j=1; j<=m; j++) {
            cin>>a[i][j];
            diff[i][j] = a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];
        }
    }
    for (i=0; i<q; i++) {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
        diff[x1][y1] += c;
        diff[x1][y2+1] -=c;
        diff[x2+1][y1] -=c;
        diff[x2+1][y2+1] += c;
    }
    for (i=1; i<=n; i++) {
        for (j=1; j<=m; j++) {
            diff[i][j] += diff[i-1][j]+diff[i][j-1]-diff[i-1][j-1];
            cout<<diff[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}