技術標籤：數學數學基礎

長度單位

為什麼從長度開始呢?

長度用來度量線的長度[初級]，而線是人們對一個事務抽象描述的基礎，例如時間線等

常見的長度單位: 1米=100釐米=1000毫米

常見的線有:

1. 線段 一個物體列如正方體的某一邊
2. 直線 在數學上被定義為兩段無限延長的線，無法度量長度，是一個抽象的概念
3. 曲線 例如彎曲頭髮
4. 射線 有一端固定，而另一端無限延長，例如火箭發射，從一個點開始發射，這個概念其實不太準確，火箭是會停下來的，這裡是假設是一顆不會停下來的火箭

方程

方程（equation）是指含有未知數的等式。是表示兩個數學式（如兩個數、函式、量、運算）之間相等關係的一種等式，使等式成立的未知數的值稱為“解”或“根”。求方程的解的過程稱為“解方程”

假如一個班級有50名學生，我們把學生記作x，把班級記作y，年級記作z
y = 50 x y=50x y=50x

z = 50 x y z=50xy z=50xy

等式

等式左右兩邊相等，滿足交換律
等式兩邊同時加上或者減去一個數，兩邊仍然相等
等式兩邊同時乘以或者除去一個數，兩邊仍然相等

等式解方程

通過前面方程的定義和交換律來看，方程左右兩邊總是相等，那麼一個班級有50名學生，50名學生也可以湊成一個班級

假如教室裡分為x行y列，那麼對於公式
教 室 = x 行 乘 以 y 列 教室=x行乘以y列 教室=x行乘以y列

教 室 = x y 教室=xy 教室=xy

對於這個方程其實有很多解法，列如

教 室 = 10 行 5 列 教室=10行5列 教室=10行5列

這裡的方程滿足交換律，教室=5行10列=10行5列，無論怎麼排列，都是這50個學生在教室裡排列

不等式

不等式就是說明左右兩邊不相等

假設一個教室z最多容納48名學生,也就是說教室裡最多隻能容納48名學生，但是也可以沒有

z > = 47 z>=47 z>=47

z > = 46 z>=46 z>=46

…

z > = 0 z>=0 z>=0

圖形

1. 平行四邊形的面積計算公式
   

如果用S表示四邊形的面積，a表示四邊形的底，h表示四邊形的高，那麼平行四邊形的面積公司可記作

假如平行四邊形的底為6米，高為4米，那麼這個平行四邊形
S = a h S=ah S=ah

= 6 ∗ 4 =6*4 =6∗4

= 24 ( m 3 ) =24(m^3) =24(m3)

下面通過一個例子來說明
Q:
A:因為兩個平行四邊形擁有同一個底，並且高度一致，那麼他們面積相等，並且面積是
1.5 ∗ 2.8 = 4.2 ( c m 2 ) 1.5*2.8=4.2(cm^2) 1.5∗2.8=4.2(cm2)

2. 三角形

三角形是由同一平面內不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連線所組成的封閉圖形，在數學、建築學有應用。

三角形的面積計算

通過把一個三角形沿著某個斜邊進行映象翻轉，得到一個平行四邊形，這個時候可以通過先求出平行四邊形的面積

三角形的計算公式
S = a h / 2 S=ah/2 S=ah/2

Q:
A:通過給三角形沿著某個斜邊翻轉得到四邊形，通過四邊形的公式
S = a h S=ah S=ah

得知三角形的面積等於四邊形的面積除以2，那麼

S = a h / 2 S=ah/2 S=ah/2

= 7.2 ∗ 12.5 / 2 =7.2*12.5/2 =7.2∗12.5/2

= 90 / 2 =90/2 =90/2

= 45 ( c m 2 ) =45(cm^2) =45(cm2)

平行四邊形和三角形綜合練習

Q:
A:
解題思路:已知兩個三角形的面積都是270平方米，那麼可知兩個三角形組成的平行四邊形的總面積為540平方米，這個時候 通過平行四邊形的面積可以反推平行四邊形的上下兩邊的長度
![在這裡插入圖片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20210109193518488.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz,size_16,color_FFFFFF,t_70

設 平 行 四 邊 形 為 p ， 左 邊 的 三 角 形 為 t 1 ， 右 邊 的 三 角 形 為 t 2 設平行四邊形為p，左邊的三角形為t1，右邊的三角形為t2 設平行四邊形為p，左邊的三角形為t1，右邊的三角形為t2

那 麼 p 面 積 = t 1 面 積 + t 2 面 積 那麼p面積=t1面積+t2面積 那麼p面積=t1面積+t2面積

已 知 道 t 1 = 270 m 2 , t 2 = 270 m 2 已知道t1=270m^2,t2=270m^2 已知道t1=270m2,t2=270m2

那 麼 p 面 積 = 540 m 2 那麼p面積=540m^2 那麼p面積=540m2

p 的 高 為 t 2 的 高 ， 根 據 平 行 四 邊 形 的 面 積 公 式 : t 2 S = t 2 a ∗ t 2 h p的高為t2的高，根據平行四邊形的面積公式: t2S=t2a*t2h p的高為t2的高，根據平行四邊形的面積公式:t2S=t2a∗t2h

那 麼 t 2 的 底 = p 的 底 ， p 底 = p 面 積 / 18 m 那麼t2的底=p的底，p底=p面積/18m 那麼t2的底=p的底，p底=p面積/18m

p 底 = 540 / 18 = 30 p底=540/18=30 p底=540/18=30

接 下 來 計 算 平 行 四 邊 形 的 斜 邊 ， 通 過 90 度 翻 轉 平 行 四 邊 形 ， 這 次 把 斜 邊 看 坐 底 接下來計算平行四邊形的斜邊，通過90度翻轉平行四邊形，這次把斜邊看坐底 接下來計算平行四邊形的斜邊，通過90度翻轉平行四邊形，這次把斜邊看坐底

可 知 p 斜 邊 = p 面 積 / t 1 h = 540 / 22.5 = 24 可知p斜邊=p面積/t1h=540/22.5=24 可知p斜邊=p面積/t1h=540/22.5=24

最 終 得 出 p 底 = 30 ， p 斜 邊 = 24 最終得出p底=30，p斜邊=24 最終得出p底=30，p斜邊=24

根 據 平 行 四 邊 形 的 周 長 計 算 公 式 C = ( a + b ) ∗ 2 根據平行四邊形的周長計算公式 C=(a+b)*2 根據平行四邊形的周長計算公式C=(a+b)∗2

最 終 得 出 p 周 長 = ( 30 + 24 ) ∗ 2 = 108 m 最終得出p周長=(30+24)*2=108m 最終得出p周長=(30+24)∗2=108m

…
其實此題的解法很多，比如說已知面積等於540，高等於18，根據面積將公式S=ah。540=18a，那麼四邊形的底a自然等於30
或者說三角形面積2/高也等於底，不過它本質上和根據平行四邊形面積和高來求底沒有區別

3. 梯形

梯形（trapezoid）是隻有一組對邊平行的四邊形 [1] 。平行的兩邊叫做梯形的底邊：較長的一條底邊叫下底，較短的一條底邊叫上底；另外兩邊叫腰；夾在兩底之間的垂線段叫梯形的高。一腰垂直於底的梯形叫直角梯形（right trapezoid）。兩腰相等的梯形叫等腰梯形（isosceles trapezoid）

梯形的面積計算

通過學習三角形的面積計算，可以衍生出梯形的面積計算公式，通過把梯形沿某個斜邊翻轉來得到一個平行四邊形，那麼可以推出梯形的面積計算公式
假 設 上 底 為 a , 下 底 為 b ， 高 為 h 假設上底為a,下底為b，高為h 假設上底為a,下底為b，高為h

S = ( a + b ) ∗ h / 2 S=(a+b)*h/2 S=(a+b)∗h/2

4. 初次接觸等差數列

等差數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數的一種數列，常用A、P表示。這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。
簡單來說就是設定一個數2，以下每一行都是當前行的數量+1

這堆木頭最頂層有2根，倒數第二層有3根，直到最後的第一層有6根
通過最基本的數一數可以得知 2+3++4+5+6=20根

通過結合梯形的公式，(2+6)*5/2,可以快速的求出木頭一共20根

正數

阿拉伯數字由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10個計數符號組成。採取位值法，高位在左，低位在右，從左往右書寫。藉助一些簡單的數學符號（小數點、負號、百分號等），這個系統可以明確的表示所有的有理數。為了表示極大或極小的數字，人們在阿拉伯數字的基礎上創造了科學記數法

1. 偶數 是2的倍數的叫做偶數，例如2，4，6，8，10，12…
2. 奇數 不是2的倍數的叫奇數，例如1，3，5，7，9，11…
   奇數+奇數=偶數，41+41=82
   奇數+偶數=奇數，41+42=83
   偶數+偶數=偶數，42+42=84
3. 完全數 一個數的因數相加等於它自己，那麼這個數是完全數，例如6的因數是1，2，3，6，除去6以外1+2+3=6
4. 質數(素數) 正整數中，一個數如果只有1和它本身兩個因數，例如2，3，5，7
   2=1x2
   3=1x3
   5=1x5
   7=1x7
   而9不是質數，1x9=9,3x3=9,那麼9的因數是1,3,9，它不是一個 質數
5. 合數 正整數中，一個數除了1和它自己以外還有其他因數，例如4，6，9，15
   4=1x4,4=2x2
   6=1x6,6=2x3
   9=1x9,9=3x3
   15=1x15,15=3x5
   1既不是質數，也不是合數
6. 互質數 公因數只有1的兩個數叫互質數，例如5合7，7和13，他們都只能被1整除，只有一個公因數1
   互質數裡兩個數必須都是質數，互質數的條件是兩個數只有一個公因數1，而合數的條件是除了1外還有其他因數

…手動分割線

1. 錯誤，9是一個奇數，9的因數有1，3，9。而9是一個合數，並不是質數
2. 錯誤，2是偶數，但是2是一個質數，它的因數只有2
3. 錯誤，1既不是質數，也不是合數
4. 錯誤，2和3都是質數，2+3=5，5不是偶數

…手動分割線

負數

負數是數學術語，比0小的數叫做負數，負數與正數表示意義相反的量。負數用負號（Minus Sign，即相當於減號）“－”和一個正數標記，如−2，代表的就是2的相反數。

0既不是正數也不是負數

分數

分數原是指整體的一部分，或更一般地，任何數量相等的部分。表現形式為一個整數a和一個整數b的比（a為b倍數的假分數是否屬於分數存在爭議 [1-2] ）。
分數表示一個數是另一個數的幾分之幾，或一個事件與所有事件的比例。把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫分數。分子在上，分母在下。 [3]
當分母為100的特殊情況時，可以寫成百分數的形式，如1%

真分數	分子比分母小的分數叫真分數，真分數小於1
假分數	分字比分母大或者相等的分數叫分數，假分數 大於等於1
帶分數	5/11，可以看做是5/10和5/1合成的數，寫作,又叫二又五分之一
倒數	3/8和8/3相乘等於1，38/83=1

分數的分字和分母同時乘以或者除以相同的數(0除外)，分數的大小不變

約分

把分數化成最簡分數的過程就叫約分。約分是分式約分，把一個分數的分子、分母同時除以公約數，分數的值不變。約分的依據為分數的基本性質。

30/24是可以約分的數字，通過把分字和分母都處於一個最大公因數
30的因數有: 1,2,3,5,6,10,15,30
24的因數有: 1,2,3,4,6,8,12,24
他們的公因數有: 2,3,6

30/24來除以他們的最大公因數6，可以得到結果5/4，5/4就是30/24的最簡分數

通分

通分（reduction of fractions to a common denominator）根據分數（式）的基本性質，把幾個異分母分數（式）化成與原來分數（式）相等的同分母的分數（式）的過程，叫做通分
簡單來說就是把異分母分數變成同分母分數

黃豆的蛋白質含量是2/5
蠶豆的蛋白質含量是1/4
肉眼比較的話很難直接比較出兩個分數的大小，因此需要通分
2/5=2x4/5x4=8/20
1/4=1x5/4x5=5/20
因此得出結論，黃豆的蛋白質含量更高
異分母分數的分母相乘實際上也是兩個分母的最小公倍數

分數運算
運算之前一般都要給分數約分，拿到最簡分數，然後把異分母分數同分
運算完後可能可以再次約分

…手動分割線

因式分解(分解質因數)

利用分解質因數的方法，可以簡單的求出兩個數的最大公因數或者最小公倍數

求最大公因數
24 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 24=2*2*2*3 24=2∗2∗2∗3

36 = 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 3 36=2*2*3*3 36=2∗2∗3∗3

24 和 36 的 最 大 公 因 數 = 2 ∗ 2 ∗ 3 = 12 24和36的最大公因數=2*2*3=12 24和36的最大公因數=2∗2∗3=12

求最大公因數因式分解法則:

求最大公因數因式分解應用
現有12*16平方的房間，要求用地磚鋪滿整個房間，為方面，選擇面積比較大的地磚而不是1平米的磚，現要求計算磚的大小為多少合適

16的因數: 1,4,8,16
12的因數: 1,2,3,4,6,12

可以得知12和16的最大公因數為4米，選擇4米的磚最合適

…
求最小公倍數
60 = 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 5 60=2*2*3*5 60=2∗2∗3∗5

42 = 2 ∗ 3 ∗ 7 42=2*3*7 42=2∗3∗7

60 和 42 的 最 小 公 倍 數 = 2 ∗ 3 ∗ 10 ∗ 7 = 420 60和42的最小公倍數=2*3*10*7=420 60和42的最小公倍數=2∗3∗10∗7=420

求最小公倍數因式分解法則:

數字的運算

非整數除法: 13除以4等於=3餘1

整數除法: 12除以4等於=3

一個數的最小因數是1，最大因數是它自己
一個數的最小倍數是自己，最大倍數為無窮

圓形

在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓（circle）。這個定點叫做圓的圓心。
圓形一週的長度，就是圓的周長。能夠重合的兩個圓叫等圓，等圓有無數條對稱軸。
圓是一個正n邊形（n為無限大的正整數），邊長無限接近0但永遠無法等於0。

π=3.1415926535…計算時通常取近似值3.14。我們可以說圓的周長是直徑的π倍，或大約3.14倍，不能直接說圓的周長是直徑的3.14倍。

正圓的周長:
C = 2 π r C=2πr C=2πr

正圓的面積:
S = π r 2 S=πr^2 S=πr2

…
割圓術

3世紀中期，魏晉時期的數學家劉徽首創割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的演算法，所謂割圓術，就是不斷倍增圓內接正多邊形的邊數求出圓周率的方法。
數學意義：“割圓術”，則是以“圓內接正多邊形的面積”，來無限逼近“圓面積”。劉徽形容他的“割圓術”說：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失矣。
歷史意義: “割圓術”，是無限切割來拼湊出正多邊形，同時也是人類首次引入極限和無窮小分割引入數學證明

圓柱體

圓柱（cylinder）是由兩個大小相等、相互平行的圓形（底面）以及連線兩個底面的一個曲面（側面）圍成的幾何體。

圓柱體的面積計算
1. 先計算圓的周常和麵積
2. 圓的周常就是側面展開的長度，根據高和側面長度計算出側面面積
3. 最後得出圓柱體的面積

Q: 假設一個杯子高15cm。直徑10cm。想要在被子的側面貼上廣告，問需要多少平方釐米的廣告
設 高 為 h ， 已 知 道 h = 15 設高為h，已知道h=15 設高為h，已知道h=15

設 直 徑 為 d ， 已 知 道 d = 10 , 可 得 半 徑 r = 5 設直徑為d，已知道d=10,可得半徑r=5 設直徑為d，已知道d=10,可得半徑r=5

已 知 圓 周 長 公 式 周 長 C = 2 π r 已知圓周長公式周長C=2πr 已知圓周長公式周長C=2πr

C ≈ 2 ∗ 3.14 ∗ 5 ≈ 31.4 C≈2*3.14*5≈31.4 C≈2∗3.14∗5≈31.4

已 知 長 方 形 公 式 面 積 S = w h 已知長方形公式面積S=wh 已知長方形公式面積S=wh

圓 柱 體 的 側 面 是 一 個 長 方 形 ， 長 方 形 的 寬 就 是 圓 柱 體 切 面 圓 的 周 長 ， 得 知 w = 31.4 圓柱體的側面是一個長方形，長方形的寬就是圓柱體切面圓的周長，得知w=31.4 圓柱體的側面是一個長方形，長方形的寬就是圓柱體切面圓的周長，得知w=31.4

S = 31.4 ∗ 15 = 471 c m 2 S=31.4*15=471cm^2 S=31.4∗15=471cm2

…

圓柱體的體積計算

通過無窮切割法來看，可以把一個圓柱體拼湊成一個立方體
通過立方體的體積公式可以算出圓柱體的體積計算公式
V = π r 2 h V=πr^2h V=πr2h

Q: 一個圓柱體的高是10m，底面直徑是2m，這立方體的體積是多少?
A：
V = π r 2 h V=πr^2h V=πr2h

V = 3.14 ∗ 2 / 2 ∗ 10 V=3.14*2/2*10 V=3.14∗2/2∗10

V = 3.14 ∗ 10 V=3.14*10 V=3.14∗10

V = 31.4 m 3 V=31.4m^3 V=31.4m3

…

圓錐

圓錐是一種幾何圖形，有兩種定義。解析幾何定義：圓錐面和一個截它的平面（滿足交線為圓）組成的空間幾何圖形叫圓錐。立體幾何定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉軸，其餘兩邊旋轉360度而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。旋轉軸叫做圓錐的軸

圓錐體積計算

V = 1 / 3 S h V=1/3Sh V=1/3Sh