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最短路徑問題—Dijkstra演算法

(原題傳送)

Dijkstra演算法：

簡稱dij(弗洛伊德)演算法

用來計算從一個點到其他所有點的最短路徑的演算法，是一種單源最短路徑演算法。也就是說，只能計算起點只有一個的情況。

優點：時間複雜度是 O (N2)，比Floyd快

缺點：它 不能處理存在負邊權的情況

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演算法思路

從起點到一個點的最短路徑一定會經過至少一個“中轉點”（例如下圖1到5的最短路徑，中轉點是2。特殊地，我們認為起點1也是一個“中轉點”）
顯而易見，如果我們想求出起點到一個點的最短路徑，那我們必然要先求出中轉點的最短路徑

（例如我們必須先求出點2 的最短路徑後，才能求出從起點到5的最短路徑）。

我們把點分為兩類，一類是已確定最短路徑的點，稱為“白點”，另一類是未確定最短路徑的點，稱為“藍點”。
如果我們要求出一個點的最短路徑，就是把這個點由藍點變為白點。從起點到藍點的最短路徑上的中轉點在這個時刻只能是白----點。
Dijkstra的演算法思想，就是一開始將起點到起點的距離標記為0，而後進行n次迴圈，每次找出一個到起點距離dis[u]最短的點u，
將它從藍點變為白點。隨後列舉所有的藍點vi，如果以此白點為中轉到達藍點vi的路徑dis[u]+w[u][vi]更短的話，
將它作為vi的“更短路徑”dis[vi]（此時還不確定是不是vi的最短路徑）。
1 2
3 4

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接下來的兩輪迴圈將4、5也變成白點。N輪迴圈結束後，所有的點的最短路徑即能求出。

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題目程式碼

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int x[110],y[110],n,m,s,t,l,r,u,g;
bool b[110];
double a[110][110],mn[110];
void in()
{
	cin>>n;
	for
 
(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>x[i]>>y[i];
	}cin>>m;
	memset(mn,0x7f7f7f7f,sizeof(mn));
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>l>>r;
		a[l][r]=sqrt(abs(x[l]-x[r])*abs(x[l]-x[r])+abs(y[l]-y[r])*abs(y[l]-y[r]));
		a[r][l]=sqrt(abs(x[l]-x[r])*abs(x[l]-x[r])+abs(y[l]-y[r])*abs(y[l]-y[r]));
	}cin>>s>>t;
}
void Dijkstra()
{
	mn[s]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		g=0x7f7f7f7f;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(!b[j]&&g>mn[j]){
				u=j;g=mn[j];
			}
		}b[u]=1;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(!b[j]&&a[u][j]){
				mn[j]=min(mn[j],mn[u]+a[u][j]);
			}
		}
	}
}
int main()
{
	in();
	Dijkstra();
	printf("%0.02lf",mn[t]);
}

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(原題及其他演算法)