【排序演算法】堆排序初探

• 定義
• • About Binary Trees(二叉樹相關)
  • About Binary Heap(二叉堆相關)
• 思想
• 步驟
• 程式碼實現

定義

堆（heap)是一類特殊的資料結構的統稱。
堆通常是一個可以被看做一棵完全二叉樹的陣列物件。

About Binary Trees(二叉樹相關)

Binary Tree(二叉樹): 是樹的一種，主要的特點是二叉樹的所有節點最多隻有兩個葉節點。除此之外沒有別的要求。
Complete Binary Tree(完全二叉樹): 二叉樹的一種。在完全二叉樹當中，除了最後一層之外，所有層的節點都是滿的，且最後一層的節點也是從左到右的。優先填滿左邊的節點。

About Binary Heap(二叉堆相關)

Heap(堆): 堆是一種樹。在樹的性質之外，堆要求節點按照大小（父節點比子節點大/父節點比子節點小）來排列。
Binary Heap(二叉堆): 二叉堆是近似於完全二叉樹的一種堆。除完全二叉樹的性質外，二叉堆還要求堆內元素按照大小排列。
Min Heap(最小堆): 最小的鍵值總是在最前面。換句話說，所有的父節點都比他們的子節點小。
Max Heap(最大堆): 最大的鍵值總是在最前面。換句話說，所有的父節點都比他們的子節點大。

作者：匿名使用者
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思想

堆排序（Heapsort）是指利用堆這種資料結構所設計的一種排序演算法。
堆的性質保證了其根元素為最大或最小值；
每一次建立大/小頂堆，在堆頂取出最大/小值，把當前剩餘的最後一個元素放到堆頂；
再次建立大/小頂堆，得到全部資料中第二大/小的值，取出，把當前剩餘的最後一個元素放到堆頂；
重複上述步驟，直到全部元素都被取出。

假設一個小根堆的左、右子樹都已是堆，並且根的元素名為root ，其左右子節點為left 和right ，這種情況下，有兩種可能：

步驟

以升序為例，需要不斷建立大頂堆

1. 初始化大頂堆 （從倒數第二行的節點開始，從下往上、從右往左，這樣遍歷的順序保證了一個小根堆的左、右子樹都已是堆）
   假設一個小根堆的左、右子樹都已是堆，並且根的元素名為root ，其左右子節點為left 和right ，這種情況下，有兩種可能：
   （1) root<=left 並且 root<=right ，此時堆已完成；
   （2）root>left 或者 root>right，此時 root 應與兩個子女中值較小的一個交換，結果得到一個堆，除非 root 仍然大於其新子女的一個或全部的兩個。這種情況下，我們只需簡單地繼續這種將 “拉下來”的過程，直至到達某一個層使它小於它的子女，或者它成了葉結點。
2. 將陣列第一個元素（即根節點）與陣列最後一個元素交換（這時最後一個元素成為了最大的）
3. 重塑大頂堆
4. 重複2.3.步驟，直至只剩下根節點

程式碼實現

1. Down——把i逐層向下比較，放到合適的地方；結合一定的呼叫前提，實現了把以i為堆頂的子堆變為大頂堆的功能。

void Down(int array[], int i, int size)
{
	int parent = i;
	int child = 2 * i + 1;
	while (child < size)
	{
		//比較兩個兒子的大小（如果有兩個兒子的前提下）
		//換成更大的那個去和父親比較
		if (child + 1 < size && array[child] < array[child + 1])
		{
			child++;
		}
		//如果父親不比兩個兒子都大
		//那麼交換父親和兒子
		//並且繼續往下檢視以剛剛的兒子為根的子堆
		if (array[parent] < array[child])
		{
			swap(array, parent, child);
			parent = child;
			child = 2 * child + 1;
		}
		//如果父親比兩個兒子都大，則大頂堆已經完成
		//因為我們遍歷的順序保證了一個子堆的左右子樹都已經是大頂堆
		else break;
	}
}

2. BuildHeap——將原無序陣列初始化為一個大頂堆

void BuildHeap(int array[], int size)
{
	for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--)
		Down(array, i, size);
}

比如，按照順序，先對倒數第二排的節點呼叫Down函式，結果是，倒數第二排結合最後一排成為了一個個大頂堆；
然後迴圈來到倒數第三排的節點，再呼叫Down（由上述知，已經滿足了每個子堆的左右子樹都已經是大頂堆的前提），之後倒數第三、二、一排共同組成了一個個大頂堆；
以此類推，最終構建出了一個真正的大頂堆。

3. HeapSort——實現堆排序

void HeapSort(int array[], int size)
{
	//初始化一個大頂堆
	BuildHeap(array, size);
	//將堆頂元素和堆中剩餘的最後一個元素交換
	//再把交換後的堆頂放置到合適的地方
	//由於只改變了堆頂的元素，不會改變其他子堆已經是大頂堆的事實
	for (int i = size - 1; i > 0; i--)
	{
		swap(array, 0, i);
		Down(array, 0,i);
	}
}

4. main

int main()
{
	int array[] = { 20, 19, 18, 30, 13, 30, 27, 15, 10 };
	int size = sizeof(array) / sizeof(int);
	HeapSort(array, size);
	for (int i = 0; i < size; i++)
		cout << array[i] << ' ';
}

輸出結果