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1406. 石子游戲 III

Alice 和 Bob 用幾堆石子在做遊戲。幾堆石子排成一行，每堆石子都對應一個得分，由陣列 stoneValue 給出。

Alice 和 Bob 輪流取石子，Alice 總是先開始。在每個玩家的回合中，該玩家可以拿走剩下石子中的的前 1、2 或 3 堆石子 。比賽一直持續到所有石頭都被拿走。

每個玩家的最終得分為他所拿到的每堆石子的對應得分之和。每個玩家的初始分數都是 0 。比賽的目標是決出最高分，得分最高的選手將會贏得比賽，比賽也可能會出現平局。

假設 Alice 和 Bob 都採取 最優策略 。如果 Alice 贏了就返回 "Alice" ，Bob 贏了就返回 "Bob"，平局（分數相同）返回 "Tie" 。

示例 1：

輸入：values = [1,2,3,7]
輸出："Bob"
解釋：Alice 總是會輸，她的最佳選擇是拿走前三堆，得分變成 6 。但是 Bob 的得分為 7，Bob 獲勝。
示例 2：

輸入：values = [1,2,3,-9]
輸出："Alice"
解釋：Alice 要想獲勝就必須在第一個回合拿走前三堆石子，給 Bob 留下負分。
如果 Alice 只拿走第一堆，那麼她的得分為 1，接下來 Bob 拿走第二、三堆，得分為 5 。之後 Alice 只能拿到分數 -9 的石子堆，輸掉比賽。
如果 Alice 拿走前兩堆，那麼她的得分為 3，接下來 Bob 拿走第三堆，得分為 3 。之後 Alice 只能拿到分數 -9 的石子堆，同樣會輸掉比賽。

輸入：values = [1,2,3,6]
輸出："Tie"
解釋：Alice 無法贏得比賽。如果她決定選擇前三堆，她可以以平局結束比賽，否則她就會輸。
示例 4：

輸入：values = [1,2,3,-1,-2,-3,7]
輸出："Alice"
示例 5：

輸入：values = [-1,-2,-3]
輸出："Tie"

提示：

1 <= values.length <= 50000
-1000<= values[i] <= 1000

來源：力扣（LeetCode）
連結：https://leetcode-cn.com/problems/stone-game-iii
解析：

• 定義：dp[i]當前玩家從位置i走起所能獲取的最大相對分數，即score = Alice-Bob
• 初始化：dp[*]= min
• 公式：dp[i]=max(dp[i], sum(stoneValue[i: i + k]) - dp[i + k])，k in (1 ,2, 3)
• 結果：dp[0]
• 複雜度：O((n-k)*k)

sum(stoneValue[i: i + 1]) - dp[i + 1])，當前走i，對手從i+1走

sum(stoneValue[i: i + 2]) - dp[i + 2])，當前走到i+1，對手從i+2走

sum(stoneValue[i: i + 3]) - dp[i + 3])，當前走到i+2，對手從i+3走

還可以計算每個人的分數，如下計算公式：

程式碼如下：

import sys

def stoneGameIII(stoneValue) -> str:
    n = len(stoneValue)
    stoneValue += [0, 0, 0]
    dp = [-sys.maxsize] * n + [0, 0, 0]
    for i in range(n):
        for k in (1, 2, 3):
            dp[i] = max(dp[i], sum(stoneValue[i: i + k]) - dp[i + k])
    return "Alice" if dp[0] > 0 else "Bob" if dp[0] < 0 else "Tie"