定理

當且僅當 \(p\) 是質數時， \((p-1)! \equiv -1 \pmod p\) 。

證明

首先對於 \(p < 5\) 時，直接證即可。

對於 \(p \ge 5\) ，分成以下幾種情況：

1. \(p\) 為合數但不為質數的平方，則 \(p\) 可以表示成 \(a\times b\) ，其中 \(a,b\) 都是 \(\le p\) 的不同的整數，在 \((p-1)!\) 中出現過，所以 \(ab | (p-1)!\) ，得 \((p-1)! \not\equiv -1 \pmod p\) ，定理成立。

2. \(p\) 為質數的平方，設 \(p=t^2\) ，其中 \(t\)

   是小於 \(p\) 的質數，\(\because p \ge 5\) ， \(\therefore t \ge 3\) 。在 \(1\) 到 \(p-1\) 中，\(t\) 作為質因數出現在 \(t\), \(2t\), \(3t \dots t(t-1)\) 之中，共 \(t-1\) 個。\(\because t \ge 3\) ，\(\therefore t-1 \ge 2\) ，\(t^2|(p-1)!\) ，故 \((p-1)! \not \equiv -1 \pmod p\) ，定理成立。

最後一種情況： \(p\) 為質數。則 \((p-1)!=1 \times (p-1) \times [2 \times 3 \times \dots \times(p-2)]\)

\(\because\) \(p \ge 5\) 且 \(p\) 是質數， \(\therefore\) \(2\) 到 \(p-2\) 有偶數個數。假設其中有兩個數在模 \(p\) 意義下的逆元相同，設這兩個數為 \(a,b\) ，逆元為 \(t\) ，則可得：

\[at \equiv bt \equiv 1\pmod p \]

則 \(p|t(a-b)\) ，\(\because\) \(a,b,t <p\) ， \(\therefore p\not| t\) 且 \(p\not | (a-b)\) ，故 \(p\not |t(a-b)\) ，矛盾。故 \(2\) 到 \(p-2\)

中每個數的逆元各不相同。

再證 \(2\) 到 \(p-2\) 中每個數逆元不為自己，假設 \(k\) 的逆元是它本身，則有

\[k^2\equiv1\pmod p \]

則 \(p|k^2-1\) ，因式分解變成 \(p|(k+1)(k-1)\) ，則 \(p|k+1\) 或 \(p|k-1\) ，解得 \(k=1\) 或 \(k=p-1\) ，都不在 \(2\) 到 \(p-2\) 的範圍內，故 \(k\) 不存在。

\(\therefore\) \(2\) 到 \(p-2\) 中每個數模 \(p\) 意義下的逆元互不相同，且不為自己，同時也在 \(2\) 到 \(p-2\) 中，於是：

\[(p-1)!\equiv 1 \times (p-1) \times [2 \times 3 \times \dots \times(p-2)] \equiv p-1\equiv-1 \pmod p \]

得證。

一些題目

(p-k) 的階乘

注：這個網站可能打不開。

題意：這是一道提交答案題，\(p\) 為質數，設

\[S(p)=\displaystyle\sum_{1\le k<5}(p-k)! \bmod p \]

求 \(\displaystyle\sum_{1 < p<10^8}S(p)\) , \(p\) 是質數。

思路：

我們可以把上面的式子在模 \(p\) 的意義下拆一下：

\[\sum_{1 \le k < 5}(p-k)! \equiv(p-5)! \times(1+(p-4) + (p-4)(p-3)+ (p-4)(p-3)(p-2) + (p-4)(p-3)(p-2)(p-1)) \pmod p \]

看著複雜，但我們是在模 \(p\) 的意義下運算，所以每幾個二次二項式的乘積對 \(p\) 取模相當於常數項對 \(p\) 取模，上式變為：

\[\sum_{1\le k < 5}(p-k)! \equiv (p-5)!(1-4+12-24+24) \pmod p \] \[\sum_{1\le k < 5}(p-k)! \equiv 9(p-5)! \pmod p \]

我們希望 \((p-5)!\) 可以變為 \((p-1)!\) ，這樣我們就能和威爾遜定理扯上關係了，於是：

\[\sum_{1\le k < 5}(p-k)! \equiv 9(p-1)! \div[(p-4)(p-3)(p-2)(p-1)] \pmod p \] \[\sum_{1\le i < 5}(p-k)! \equiv 9(p-1)! \div24 \pmod p \] \[\sum_{1\le i < 5}(p-k)! \equiv -9 \times 24^{-1} \pmod p \]

於是只用求逆元即可，複雜度 \(O(n \log p)\) ，大概跑個幾秒就出來了。