演算法介紹

厄拉多塞篩演算法（Eratosthenes Sieve）是一種求素數的方法，由古希臘數學家厄拉多塞提出。它的原理是，給定一個數 n，從 2 開始依次將 \(\sqrt{n}\) 以內的素數的倍數標記為合數，標記完成後，剩餘未被標記的數為素數（從 2 開始）。如此可省去檢查每個數的步驟，使篩選素數的過程更加簡單。厄拉多塞篩演算法具體步驟如下：

1. 讀取輸入的數 n，將 2 到 n 的所有整數記錄在表中
2. 從 2 開始，劃去表中所有 2 的倍數
3. 由小到大尋找表中下一個未被劃去的整數，再劃去表中所有該整數的倍數
4. 重複第（3）步，直到找到的整數大於 \(\sqrt{n}\) 為止
5. 表中所有未被劃去的整數均為素數

演算法流程圖

具體程式碼(python)

def sieve_prime(n: int) -> list:
    """厄拉託塞篩法"""
    if n < 2:  # 不存在小於 2 的素數
        return []
    is_prime = [True for _ in range(n + 1)]
    # 遍歷 i=2 到 根號 n
    for i in range(2, int(pow(n, 0.5)) + 1):
        if is_prime[i]:  # 篩去 i 的倍數
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False
    # 返回 2 到 n 中未被篩去的數
    return [i for i in range(2, n + 1) if is_prime[i]]
 

在篩去 i 的倍數的時候，第一個數是 \(i \times i\) 而不是 i，這是因為對於所有 \(k \times i , \; k < i\)，都在前面被篩過，故可以跳過這些數

測試樣例和結果

• 10² 以內的素數共 25 個，最後兩個為 89, 97
• 10³ 以內的素數共 168 個，最後兩個為 991, 997
• 10⁴ 以內的素數共 1229 個，最後兩個為 9967, 9973
• 10⁵ 以內的素數共 9592 個，最後兩個為 99989, 99991
• 10⁶ 以內的素數共 78498 個，最後兩個為 999979, 999983
• 10⁷ 以內的素數共 664579 個，最後兩個為 9999973, 9999991

一些改進

這個演算法很大的一個問題是對空間很不友好，需要儲存很大的一個素數表
除了 2 之外，所有的素數都是奇數，那麼在篩的時候只需要考慮奇數即可
在構建表格的時候，先前將下標 i 對應整數 i，現在可以將下標 i 對應整數 2i+3，節約一半的儲存空間

def sieve_prime(n: int) -> list:
    """厄拉託塞篩法"""
    if n < 2:  # 不存在小於 2 的素數
        return []
    elif n == 2:
        return [2]
    end = (n - 3) // 2
    is_prime = [True for _ in range(end + 1)]
    # 遍歷 i=3 到 根號 n
    for i in range(3, int(pow(n, 0.5)) + 1, 2):
        k = (i - 3) // 2  # 將 i 映射回下標 k
        if is_prime[k]:  # 篩去 i 的倍數
            for j in range(i * i, n + 1, 2 * i):
                is_prime[(j - 3) // 2] = False
    # 返回 2 到 n 中未被篩去的數
    return [2] + [2 * i + 3 for i in range(end + 1) if is_prime[i]]

最後

除了厄拉多塞篩法之外，還有尤拉篩等篩法

使用 python 時間和空間效率都較低，對於標記素數，可以採用 c++ 的 bitset，bitset 是以位元為單位標記的，會極大降低儲存消耗