概率期望DP，其DP性質發現於隨n的遞變，問題空間呈規律性變化

通常情況下，期望問題有兩種基本解決思路：1.計算出總貢獻除以總情況數

2.計算出子問題概率，利用定義，再乘以子問題對應貢獻即可

　　首先想到思路一，設計f[i][j]表示進行到第i輪，子樹最大深度為j的情況數

考慮如何轉移，想到的是將第i次操作在葉節點進行，由i-1進行拓展，發現

需要維護當前階段第j層葉節點數，O(n^3)可行，然而發現每一層節點都由上

一層節點進行轉移，時間複雜度O(n^4)，（當然，矩陣優化O(n^3*logn)卡常

可做，如果不嫌麻煩），於是當事一直思考如何優化，事實上這是錯誤的策略

通常情況下我們並不能一下子想到正確DP，此時應考慮更換思路

　　事實上思路一還有一種做法，轉化為計數DP即可（這也是第一種思路的本質）

考慮給樹定形，發現1，2節點的位置相對固定，而樹形DP本質問題是子樹與

父樹的相互關係，在1，2節點固定後，我們並不需要考慮每一種樹形態，問題

在於樹的期望深度，那麼DP過程只需要轉移子樹深度，大小，分別考慮以1，2

節點為根，乘法計數，即可O(n^4)，這種思考方式的有點在於並不去考慮與問題無

關的樹形，而是將所有樹形化歸為一種抽象形態，避免了具體考慮轉移的繁雜，

個人認為相較於第一種方法更優

　　上述兩種方式均以計數DP方式計算總貢獻進而推出期望，但是其並不適用與

本問題，本問題更接近與抽象問題，因為在階段推進過程中，僅僅是生成樹，樹

的形態不定，也就是沒有統一的轉移方式，具體思考會陷入陷阱。

　　於是我們考慮抽象思考，繞過樹形態的變化，採取第二種思路，巨集觀考慮從

一種形態轉化為另一種形態的概率。轉移無定式，對於本題更是如此，考慮對於

當前樹，他是如何被生成的。因為對於生成方式完全無描述，我們可以認為，第

一種情況是有子樹在葉節點拓展生成，另一種情況是由新節點連線若干子樹行形成。

　　發現第二種情況顯然比第一種情況簡潔，於是對於i個節點，j深度子樹生成概率

就由i-1節點，最大深度等於j-1的森林生成概率轉移而來，於是可以並行DP

（很多情況下，當一中DP無法進行時，可以利用多DP並行，記錄所需資訊來輔助

主DP轉移），發現對於森林概率的DP，其最優子結構由子森林與子樹構成，也就

是說森林與樹生成概率的轉移相輔相成，基本完成。

　　當然存在一個問題為森林的轉移存在概率限制，即另需記錄i節點j深度森林中

某棵樹為k節點概率，由於這棵樹的編號是等效的，故數學歸納得概率為1/i

程式碼如下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define I int
 4 const I MAXN = 205;
 5 I n,mod,res;
 6 I f[MAXN][MAXN],g[MAXN][MAXN],d[MAXN];
 7 inline I qpow (I base,I index) {
 8     I res(1);
 9     for ( ; index ;index >>= 1,base = 1ll * base * base % mod)
10       if (index & 1) res = 1ll * res * base % mod;
11     return res;
12 }
13 signed main () {
14     cin >> n >> mod;
15     for (I i(1);i <= n; ++ i) d[i] = qpow (i,mod - 2);
16     for (I i(0);i <= n; ++ i) f[1][i] = g[1][i] = g[0][i] = 1;
17     for (I i(2);i <= n; ++ i)
18       for (I j(0);j <= n; ++ j) {
19         if (j) f[i][j] = g[i - 1][j - 1];
20         for (I k(1);k <= i; ++ k)
21           g[i][j] = (g[i][j] + 1ll * f[k][j] * g[i - k][j] % mod * d[i]) % mod;
22       }
23     for (I i(1);i <= n; ++ i)
24       res = (res + 1ll * (f[n][i] - f[n][i - 1]) * i) % mod;
25     cout << (res + mod) % mod << endl;  
26 }