演算法專題——最小生成樹
阿新 • • 發佈：2021-08-10
最小生成樹
最小生成樹的概念
prim演算法以及kruskal演算法，原生問題中是求解將n個節點連線並花費最小而形成的樹的演算法。還可以求解最大的邊權最小的問題。
相關題目後續補充
求最小生成樹的演算法
Prim演算法
總是連結離中心最近的一個節點到樹中。
O(n ^ 2)
原理解釋：
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反證法：將當前與外界直接相連的權值最小的一條邊不併入樹中，而是通過其他點將兩個連通塊連線構成了一棵樹。在樹構成完成之後，將該邊併入樹中，根據樹的性質可以得到一個環，由於一開始兩個連通塊並不連通，一定是通過一條比該邊權值更大的邊進行連通的，所以該環一定會出現比該邊權值更大的邊，於是可以將環中權值最大的邊去掉，仍然可以得到一棵樹並且整棵樹權值不會減小，於是得證該邊一定可以併入該最小生成樹中。
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連通性：將樹與外界分開，將外界所有節點視為已經連通的連通塊，如果最後要構成一棵樹的話，顯然需要一條邊將“樹”和“外界”進行連通。那麼最優解顯然就是權值最小的那一條邊。
kruskal演算法
類似於Bellman-Ford演算法，去中心化，最終得到一棵樹。直接儲存邊的結構體實現。
O(ElogE)，如果不用排序可以優化到O(E)
原理解釋：
- 反證法：和prim演算法的證明差不多，大致環節就是，如果不加該邊→成樹→加上該邊得到環→替換掉一條權值更大的邊→更優解→該邊可以出現在最後的最小生成樹中。
- 最優解：總是將權值最小的邊併入樹中，如果成環了，那麼由於已經併入的都是比該邊權值更小的邊，所以環上一定不存在可替換的邊，將該邊捨去，如果不會成環，那就將其視為可以作為最小生成樹的一條邊。
特點：
計算中的任意過程拿出來都是正確的，可以中途結束，同樣可以中途開始。是一個逐漸連線各個連通塊，逐漸減少連通塊個數的方法，因此可以可以求解類似最小生成森林的問題。
關鍵詞：連通塊，最小邊。
拓展應用
- 虛擬原點：可以完成點權轉換為邊權，將一些特殊的東西一般化。
- 最小邊：Kurskal演算法的靈活應用需要關注演算法過程中的連通塊和最小邊，這是一個很重要的性質。
- 次小生成樹：最小生成樹的一類問題，最小生成樹的鄰集。
次小生成樹
定義：第二小的生成樹，不嚴格的話可以等於最小生成樹，嚴格的話一定小於最小生成樹。
求解方法：
- 先求最小生成樹，列舉刪去最小生成樹中的邊求解。
O(mlogm + m) - 先求最小生成樹，列舉非樹邊，將該邊加入樹中，替換掉環上剛好比該邊小(根據性質，一定是環上權值最大)的一條邊。
O(m + n^2 + mlogm)，如果使用LCA倍增優化，可以達到O(mlogm)