Problem

UVA10162 Last Digit

題目大意：

求 \(1^1+2^2+3^3+\cdots+n^n\) 的最後一位​。其中 \(1 \le n \le 2 \times 10^{100}\)​。

Solution

其實是個簡單的找規律題 QwQ。

我們不妨設 \(S(k)=\sum\limits_{i=1}^k i^i\)。那麼答案就是 \(S(n)\)。
先給出結論：\(S(k)=S(k \bmod 100)\)。

首先，我們可以通過打表或在 uDebug 上輸資料發現，\(S(100)=0\)​。
然後，對於每一個大於 \(100\)​ 的數 \(k\)​，我們可以將其表示為 \(100a+b\)

同樣的道理，我們也可以對 \(b\)​​ 拆解，設 \(b=10c+d\)​​，那麼：

我們可以列舉以下 \(d=0,1,2,\cdots,9\) 時 \(d^{d+4} \bmod 10\) 的情況，發現結果與 \(d^d \bmod 10\) 時的結果正好相等。
所以 \(k^k \equiv d^d \pmod{10}\)

所以我們只要預處理出 \(S(0),S(1),S(2),\cdots,S(99)\)，然後對於每次讀入取末兩位即可。

Code

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[100];
string n;
int power(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=ans*a%10;
		a=a*a%10;
		b>>=1;
	}
	return ans%10;
}
int main()
{
	for(int i=1;i<100;i++) a[i]=(a[i-1]+power(i,i))%10;
	while(cin>>n&&n!="0")
		if(n.length()<2) printf("%d\n",a[(n[0]-'0')]);
		else printf("%d\n",a[(n[n.length()-2]-'0')*10+n[n.length()-1]-'0']);
	return 0;
}