P2119 魔法陣

2016年普及組T4

題意：

給定一系列元素 \(\{X_i\}\) ，求滿足以下不等式的每一個元素作為 \(a,b,c,d\) 的出現次數 。

題解：

設 \(X_d-X_c=t\) ，則 \(X_a-X_b=2\times t\) 。

帶入第三個式子，可得：\(2\times t<\dfrac{X_c-X_b}{3}\) 。

變形得：\(6\times t+k=X_c-X_b\)

因為 \(A\ge 1\) 且 \(D\le n\) ，所以 \(1\le9\times t \le n-1\) 。

則有了這麼一幅圖：

考慮列舉 \(t\) ：

• 列舉 \(A=[n-9\times t-1,\dots,1]\) ：

  對於一對 \([A,B]\) ，\([C,D]\) 的最小值當 \(k=1\) 時取到 。而對於一對能形成魔法陣的 \([X_c,X_d]\) ，\([X_i(X_i>=X_c),X_j(X_j>X_d)]\) ,也能形成魔法陣 。則可以用字尾和優化 。

• 列舉 \(D=[2+9\times t,\dots,n]\)

  ：同理，用字首和優化 。

程式碼：

int n,m,a[Maxn],cnt[Maxn],ans[4][Maxn];

n=rd(),m=rd();
for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=rd(),cnt[a[i]]++;
for(int t=1,tmp;9*t<n;t++)
{
	 tmp=0; for(int A=n-t*9-1;A>=1;A--)
	 {
	 	 int D=A+t*9+1,B=A+2*t,C=D-t;
	 	 tmp+=cnt[C]*cnt[D];
	 	 ans[0][A]+=tmp*cnt[B];
	 	 ans[1][B]+=tmp*cnt[A];
	 }
	 tmp=0; for(int D=t*9+2;D<=n;D++)
	 {
	 	 int A=D-t*9-1,B=A+t*2,C=D-t;
	 	 tmp+=cnt[A]*cnt[B];
	 	 ans[2][C]+=tmp*cnt[D];
	 	 ans[3][D]+=tmp*cnt[C];
	 }
}
for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d %d %d %d\n",ans[0][a[i]],ans[1][a[i]],ans[2][a[i]],ans[3][a[i]]);