矩陣的最小路徑和

問題描述

給定一個 n * m 的矩陣 a，從左上角開始每次只能向右或者向下走，最後到達右下角的位置，路徑上所有的數字累加起來就是路徑和，輸出所有的路徑中最小的路徑和。

示例：

輸入：[[1,3,5,9],[8,1,3,4],[5,0,6,1],[8,8,4,0]]

輸出：12

分析問題

因為題目要求每次只能向右或者向下走，所以對於右下角的位置，只能通過兩種方式到達，即

1. 右下角的上方位置向下走。
2. 右下角的左邊位置向右走。

所以，對於最後一個狀態來說，它只依賴於它上邊的狀態和它左邊的狀態，而與其它狀態無關。因此，我們可以使用動態規劃來求解，其狀態轉移方程是 dp[i] [j] = min(dp[i-1] [j] ，dp[i] [j-1])+matrix[i] [j]

下面我們來看一下臨界條件，對於第一行的元素來說，它不能從它上邊的狀態轉移過來，只能從左邊的狀態轉移過來，所以第一行的狀態轉移方程為 dp[0] [j] = d[0] [j-1] + matrix[0] [j]。同理可知，對於第一列的元素來說，它不能從它左邊的狀態轉移過來，只能從它的上邊轉移過來，所以第一列元素的狀態轉移方程為 dp[i] [0] = dp[i-1] [0] + matrix[i] [0]。

class Solution:
    def minPathSum(self , matrix ):
        # write code here
        m=len(matrix)
        if m==0:
            return 0
        n=len(matrix[0])

        #定義狀態轉移矩陣
        dp=[[0]*n for _ in range(m)]
        #第一個元素是matrix[0][0]
        dp[0][0]=matrix[0][0]

        #處理第一列元素
        for i in range(1,m):
            dp[i][0]=dp[i-1][0] + matrix[i][0]

        #處理第一行元素
        for j in range(1,n):
            dp[0][j]=dp[0][j-1] + matrix[0][j]

        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+matrix[i][j]

        #最後一個元素就是最小路徑和
        return dp[m-1][n-1]

 

該演算法的時間複雜度和空間複雜度都是O(m*n)，其中m代表矩陣的行數，n代表矩陣的列數。

其實，我們也不需要重新申請一個空間dp，我們可以直接複用matrix即可。

class Solution:
    def minPathSum(self , matrix ):
        # write code here
        m=len(matrix)
        if m==0:
            return 0
        n=len(matrix[0])

        #處理第一列元素
        for i in range(1,m):
            matrix[i][0]=matrix[i-1][0] + matrix[i][0]

        #處理第一行元素
        for j in range(1,n):
            matrix[0][j]=matrix[0][j-1] + matrix[0][j]

        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                matrix[i][j]=min(matrix[i-1][j],matrix[i][j-1])+matrix[i][j]

        #最後一個元素就是最小路徑和
        return matrix[m-1][n-1]
 

最後

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