64. 最小路徑和

題目來源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum

題目

給定一個包含非負整數的 m x n 網格，請找出一條從左上角到右下角的路徑，使得路徑上的數字總和為最小。

說明：每次只能向下或者向右移動一步。

示例:

輸入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
輸出: 7
解釋: 因為路徑 1→3→1→1→1 的總和最小。

解題思路

思路：動態規劃

先審題，因為題目中說明【每次只能向下或者向右移動一步】。那麼要到達終點，只能是從終點的上方或者左方到達。

狀態定義

設 dp[i][j]

狀態轉移方程

前面提到，每次移動只能是向下或者向右。對於第一行元素而言（也就是 i = 0 時），只能是從左往右進行移動；對於每一列而言（也就是 j = 0 時），只能是從上往下移動。此時狀態轉移方程為：

$$
\begin{aligned}
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j], \qquad (i = 0; and; j > 0) \
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0], \qquad (i > 0; and; j = 0)
\end{aligned}
$$

對於不在第一行第一列的元素，到達位置 (i, j)

$$
\begin{aligned}
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j], \qquad (i > 0 ; and ; j > 0)
\end{aligned}
$$

狀態初始化

dp[0][0] 表示左上角到 (0, 0) 位置的最小路徑和，也就是等於二維網格中當前元素的值。也就是：

$dp[0][0] = grid[0][0]$

最終需要求得 dp[m-1][n-1] 的值，表示從左上方到右下方的最小路徑和。

具體的程式碼實現如下。

程式碼實現

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        if not grid:
            return 0

        m = len(grid)
        n = len(grid[0])

        # 定義 dp 陣列
        dp = [[0] * (n) for _ in range(m)]

        # 初始化
        dp[0][0] = grid[0][0]
        # 對第一行和第一列進行處理
        for j in range(1, n):
            dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
        
        for i in range(1, m):
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
        
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
        
        return dp[-1][-1]

 

實現結果

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