------------恢復內容開始------------

二分查詢

只要是順序陣列，都可以考慮用一下二分查詢

思路：

1.確定左右邊界：left, right-1

2.算出mid

3.mid與target比較，小的話left=mid+1,大的話right=mid-1，以此類推。

二、尋找一個數（基本的二分搜尋）

這個場景是最簡單的，可能也是大家最熟悉的，即搜尋一個數，如果存在，返回其索引，否則返回 -1。

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) { // 注意
        int mid = (right + left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
        }
    return -1;
}
 

1. 為什麼 while 迴圈的條件中是 <=，而不是 < ？

答：因為初始化 right 的賦值是 nums.length - 1，即最後一個元素的索引，而不是 nums.length。

這二者可能出現在不同功能的二分查詢中，區別是：前者相當於兩端都閉區間 [left, right]，後者相當於左閉右開區間 [left, right)，因為索引大小為 nums.length 是越界的。

我們這個演算法中使用的是 [left, right] 兩端都閉的區間。這個區間就是每次進行搜尋的區間，我們不妨稱為「搜尋區間」(search space)。

什麼時候應該停止搜尋呢？當然，找到了目標值的時候可以終止：

    if(nums[mid] == target)
        return mid; 

但如果沒找到，就需要 while 迴圈終止，然後返回 -1。那 while 迴圈什麼時候應該終止？搜尋區間為空的時候應該終止，意味著你沒得找了，就等於沒找到嘛。

while(left <= right)的終止條件是 left == right + 1，寫成區間的形式就是 [right + 1, right]，或者帶個具體的數字進去 [3, 2]，可見這時候搜尋區間為空，因為沒有數字既大於等於 3 又小於等於 2 的吧。所以這時候 while 迴圈終止是正確的，直接返回 -1 即可。

while(left < right)的終止條件是 left == right，寫成區間的形式就是 [right, right]，或者帶個具體的數字進去 [2, 2]，這時候搜尋區間非空

當然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我們已經知道了出錯的原因，就打個補丁好了：

//...
while(left < right) {
    // ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;

2. 為什麼 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的程式碼是 right = mid 或者 left = mid，沒有這些加加減減，到底怎麼回事，怎麼判斷？

答：這也是二分查詢的一個難點，不過只要你能理解前面的內容，就能夠很容易判斷。

剛才明確了「搜尋區間」這個概念，而且本演算法的搜尋區間是兩端都閉的，即 [left, right]。那麼當我們發現索引 mid 不是要找的 target 時，如何確定下一步的搜尋區間呢？

當然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 對不對？因為 mid 已經搜尋過，應該從搜尋區間中去除。

三.給定一個排序陣列和一個目標值，在陣列中找到目標值，並返回其索引。如果目標值不存在於陣列中，返回它將會被按順序插入的位置。

• 目標值在陣列所有元素之前
• 目標值等於陣列中某一個元素
• 目標值插入陣列中的位置
• 目標值在陣列所有元素之後