2 月 4 日 12 時，《張朝陽的物理課》第二十五期如期開播。搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，開講諧振子問題。經歷了前幾節課對薛定諤方程的詳細求解，這節課先是回顧了最初的氫原子的二體薛定諤方程的質心運動與相對運動的分解、角向與徑向的分解，最終求得完備算符集的共同本徵函式，得到氫原子的波函式和相應的能級，並且從氫原子拓展到其它多電子原子。接著張朝陽開始討論與氫原子問題同樣重要的諧振子模型，簡介了其重要性與普偏性，並預告下節課將要推導的諧振子能級及其應用。

恰逢正月初四，張朝陽在直播間先給網友拜年，“我們花了很多課，來講量子力學和氫原子問題。”他說，“今天，我們要來討論與氫原子同等重要的諧振子問題。我們來認識一下它的重要性和普遍性。”

回顧氫原子問題 跳出細節、俯瞰全域性

張朝陽帶著網友複習之前講過的重點內容。“氫原子是電子和質子由於庫倫勢的吸引而組成的，是二體系統。”他介紹說，“這種系統的薛定諤方程不好直接求解。”

此前的課程揭示，解決思路並不複雜。由於庫倫勢只跟電子和質子之間的相對距離有關，所以，可將二體系統的定態薛定諤方程，分解為質心運動部分與相對運動部分。質心運動部分非常容易直接求解，並且與氫原子的內部結構無關。重點只需關注相對運動部分的定態薛定諤方程。

為了更便捷地求解，張朝陽引入角動量算符的概念，他表示，“相對運動的哈密頓量算符，可表示為徑向動能與角動量算符的平方的組合。”通過繁複的公式推導，他和網友們得出一個結論：哈密頓算符，角動量算符的平方，以及角動量算符的 z 分量，三者是相互對易的，它們構成一組完備的算符集。“也就是說，只需求得算符集的共同本徵函式，即可求得定態薛定諤方程的解。”他說。

他繼續解說，由於電子與質子之間的庫倫勢，與它們之間的方位無關，只與相對距離有關，故相對運動部分的定態薛定諤方程，可分為角向部分與徑向部分。通過求解角動量算符的平方與角動量算符的 z 分量的共同本徵函式，可求得角向部分的波函式，以及相應的分立的量子數。至於徑向部分，則可通過分析 r 趨於 0 與 r 趨於無窮時候的漸進行為和邊界條件對徑向薛定諤方程進行變形與化簡，最終用級數展開的方法求得徑向波函式及對應的量子數，並最終求得氫原子的能級。

他告訴網友，“根據分離變數法，將求得的角向波函式與徑向波函式乘起來，就得到了完整的氫原子波函式，從而完成氫原子薛定諤方程的求解。”

研究多電子原子 考慮庫倫排斥引入遮蔽效應

“完成氫原子薛定諤方程的求解，並得到氫原子的波函式和能級後，就能知道原子核外電子如何繞核運動。”他解釋說，解得的氫原子波函式用三個量子數描述，分別為主量子數 n，角量子數 l 與磁量子數 m。能級只與 n 有關，在同一能量下，角量子數可取 n 個值，從 0 取到 n-1，電子繞核運動的軌道分別命名為 ns，np，nd，nf.....；在確定的角動量 l 下，磁量子數 m 可取 2l+1 個值，從-l 到 + l。

張朝陽將氫原子的這些電子軌道擴充套件到多電子原子體系。“氫原子以外的其他原子都有多個電子，電子之間有排斥的庫倫相互作用，定量地直接求解這些三體以上的薛定諤方程是非常困難的，”他指出問題所在和解決方法，“這裡就做一些近似與假設，來定性地討論。”

“先來看除了氫原子以外最簡單的原子，氦原子。”他帶著網友一步一步推導。氦原子的兩個電子都在 1s 層，假設它們是球形分佈在原子核周圍的，由於電子之間的庫倫排斥力，其中一個電子感受到的原子核電荷數將受到遮蔽，通過變分法計算，氦原子的電子感受到的核電荷數 Z 不再是 2，而是 27/16。於是可以等效地認為電子之間相互獨立，只是它們感受到的核電荷數會由於遮蔽而減小。

再看鋰原子，它有三個電子，根據泡利不相容原理以及上述討論的量子數取值範圍，1s 軌道只能填充兩個不同自旋取向的電子，第三個電子只能被擠到 2s 軌道了。但由於 2s 軌道在 1s 軌道外面，內層的兩個電子會強烈遮蔽 2s 電子感受到的核電荷數，經過簡單計算與分析，雖然 2s 電子感受到的核電荷數不是簡單地減小 2，但受到的遮蔽效應遠遠比氦原子電子受到的同一層電子的遮蔽效應要大得多。

通過解釋氦原子與鋰原子，張朝陽告訴網友，同一殼層電子的遮蔽與不同殼層的遮蔽後，就可以定性地知道其它多電子原子的核外電子如何排布了，從而對一些化學問題得到初步的解釋。

振動、聲子與比熱 從諧振子模型說起

“除氫原子外，諧振子也是量子力學中非常重要的研究物件，並且其薛定諤方程跟氫原子一樣有解析解。”張朝陽繼續講解，諧振子模型中物體振動時的恢復力，與物體偏離平衡位置的距離成正比，並且受力方向總是指向平衡位置。對於一個有穩定平衡點的體系，在勢能極小值點附近常常可以近似為諧振子勢，這一模型體系在物理中非常普遍的。

例如經典力學中，聲波里空氣的振動，彈鋼琴時琴絃的振動、小角度的單擺；又例如量子力學中的黑體輻射，雙原子分子的振動動，超導體中的聲子等等。張朝陽還預告下節課將求解諧振子薛定諤方程並得到相應能級。

他解釋，其中，n 是大於等於 0 的整數，也就是說諧振子的能級是分立且等間距的，這與經典力學非常不同，但是與普朗克推導黑體輻射時的假設一致，從而得到正確的黑體輻射公式。

另外需要注意的是，諧振子能量的最小值不為 0，這能解釋雙原子分子的比熱問題。雙原子分子有三個質心平動自由度、兩個轉動自由度、一個振動自由度，除了這些動能的自由度外，雙原子分子之間的一個振動自由度對應的勢能也可以儲存能量，也貢獻一個自由度，這樣一共有 7 個自由度，按照能均分定理，其總內能應該是 7/2kT，但是實驗測其比熱容表明其內能是 5/2kT。

這正是因為振動能的最小值不為 0，並且比其它自由度的最小激發能都大，在常溫下分配給各個自由度的能量只夠激發其它自由度的能量，有關振動的自由度被凍結了，於是有效的自由度從 5 變成 7 了。

他說，“總之，求解諧振子的薛定諤方程，不僅能再次熟悉薛定諤方程的解法，得到的結論還有非常多的物理應用，所以下節課將對其展開深入的研究。”