2 月 6 日 12 時，《張朝陽的物理課》第二十六期開播。搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，開講諧振子模型的量子化問題。張朝陽先回顧經典力學中諧振子的運動方程、勢能，再從雙原子分子中兩個原子間的勢能出發，通過泰勒展開得到最低勢能點附近的諧振子近似，以此闡述了諧振子在微觀世界的普遍性，最後通過求解諧振子的薛定諤方程，帶領網友成功理解諧振子模型的量子化問題。

回顧經典線性諧振子：胡克定律與運動方程

張朝陽先帶著網友回顧經典力學中的諧振子問題。以彈簧-小球模型為例，在經典力學中，諧振子的回覆力是 F=-kx，即所謂的胡克定律。根據牛頓第二運動定律，可以得到諧振子的運動方程：

他告訴網友，在通常的處理中，物理學家會通過定義角頻率 ω0=√(k / m) 來簡化符號的使用。他快速給出上述方程的解的形式：x=Re [x0 e^(iω0 t)]。他提醒說，“諧振子以正弦的形式振動，ω0 是振動的角頻率。”他也順勢介紹諧振子在振動過程中，動能和勢能互相轉化，總能量保持不變。在諧振子中，勢能的微分 du=-Fdx，於是得出諧振子的勢能公式。

分子勢能模型：選取平衡位置點 泰勒展開做近似

諧振子是彈簧的理想模型，但是微觀世界並沒有彈簧，那麼諧振子對於量子力學有什麼意義呢？張朝陽以雙原子分子為例，對此作出生動的介紹。他在小白板上明示雙原子分子中的兩個原子之間的勢能。

雙原子分子中的兩個原子之間的勢能曲線 (右上角)

他說，“這個勢能曲線有一個最低點。”從經典力學來看，當系統能量比較小時，雙原子分子將會處在最低能處附近。而勢能曲線在勢能最低的形狀恰好和拋物線類似，因此可以近似成諧振子。對此，張朝陽帶著網友進行公式推導，主要方法來自於勢能在能量最低點的泰勒展開：

他提醒網友，“省略號表示泰勒展開的高階項，可忽略。”他還指出，在勢能最低點，勢能的一次導數為 0，於是上式的一次項為 0。把二階導數記為 k，重新定義勢能零點和座標原點，即可以把勢能近似為諧振子勢能的形式：

“諧振子在物理中顯得特別重要”，張朝陽強調了這個結論的普遍性。總的來說，只要是考慮勢能極小值附近的微擾問題，都可以近似為諧振子。

求解薛定諤方程：諧振子能級與波函式

提到諧振子的哈密頓算符，張朝陽再列公式做推導。

“μ 是等效質量”，他說，處理氫原子的時候由於質子比電子重很多，質子可以近似為在質心繫中靜止，因此哈密頓量可以直接用電子質量 m。但是對於雙原子分子，分子間的質量相差不大，哈密頓量裡邊的質量不能再直接使用其中某個原子的質量。

“有了諧振子的哈密頓量之後，就可以直接寫出定態薛定諤方程了。”他告訴網友。

於是，張朝陽作了變數代換：

其中關於 ξ 的二次項已經被消掉了。至此，張朝陽將 H 展開成冪級數代入方程，得到了係數的遞推關係。（備註：後面將看到波函式中的 H 函式為 Hermite 多項式形式，故這裡取其首字母。）

緊接著，張朝陽分析瞭如此遞推公式下的冪級數，如果不截斷成多項式，會導致波函式不滿足邊界條件，也就是波函式無法歸一化。如果要求這個冪級數截斷成多項式，則有 2k+1-λ=0，從而 λ=2k+1。按照一般習慣將 k 寫為 n，再結合前方變數代換中 λ 和 E 的關係，可得：

據此，張朝陽強調，諧振子的能量不是連續的，而是存在間隔的。這就是諧振子量子化的體現。他說，“經典力學中的諧振子能量就像斜坡，量子力學中的諧振子能量則是臺階，一級一級的。”

最後，他還介紹了諧振子定態波函式的具體形式。

拓展討論：基態波函式、不確定性關係、等間距能級與零點能

張朝陽以諧振子基態波函式為例，強調基態的概率分佈是高斯分佈。先是通過概率分佈的集中部分估算了 Δx，然後根據動量和能量的關係估算了 Δp，最後確認了兩者的乘積確實滿足不確定性關係。

諧振子基態滿足不確定性關係

他強調，諧振子最低能態 (n=0 的態) 的能量不是 0，也就是具有所謂的“零點能”。這是和經典力學不一樣的。不過，由於諧振子相鄰能級之間的差為固定值，而熱激發只和能量差有關，因此，當年普朗克的黑體輻射公式才能和實驗完全吻合。