1 月 28 日 12 時，《張朝陽的物理課》第二十三期開播。搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，繼續討論氫原子問題。他先回顧三個有關氫原子的重要算符，複習上次波函式角向部分的結果，補充了量子疊加概念，進而開始對薛定諤方程具體地求解波函式的徑向部分。

張朝陽通過分析 r 趨於 0 與 r 趨於無窮的情況，猜測徑向波函式解的大致形式，將氫原子徑向薛定諤方程變形並化簡。將解表示為級數展開形式，推匯出其各項係數的遞推關係，並求解出氫原子量子化的能級和徑向波函式。通過分析電子的概率分佈，尋找 r 方向上的極大值，得到氫原子半徑。

分析 r 趨於 0 與無窮的漸進行為 化簡與變形氫原子徑向薛定諤方程

“我們跟氫原子較勁很長時間了。”張朝陽在直播間開場說到，“宇宙中第一個元素就是氫。知道了氫，便知道了天下，包括瞭解我們自己，每個人身上有多少碳水化合物？”

在開始講解氫原子徑向波函式之前，張朝陽複習了上次角向波函式的結果，並補充說明利用量子疊加的概念，可得出沿不同方向旋轉的角向波函式，完結了關於氫原子角向的所有討論。這節課是求解氫原子的最後一步，張朝陽要帶著網友求解氫原子徑向薛定諤方程。

這個方程是類氫離子方程，比之前幾節課的方程多出了 Z，代表的是原子核所帶電荷數是 Z，氫原子 Z=1 代表氫原子核帶 1 個單位正電荷。引入 Z 是為了方便下節課討論多電子原子。為了方便，之後仍然稱此類氫離子方程為氫原子方程。

“為了讓它看起來簡潔。”他先介紹求解方法，“我們定義如下兩個新引數，化簡這個方程。”

並定義新的函式 u：

這樣，徑向薛定諤方程可以化簡為：

“但是，這個新形式的方程還是不好解，若我們還是強行用級數展開求解，遞推關係會很複雜。”他指出問題所在。“為了進一步化簡，我們先分析它在 r 趨於無窮與 r 趨於 0 的漸進行為。”他邊推導邊分析，當 r 趨於無窮時，方程會變得非常簡單，可以解得函式 u 在 r 趨於無窮的時候有如下漸進行為。他也提到，另外一個解由於不滿足波函式的束縛態條件而捨棄掉了。

他繼續推導，當 r 趨於 0 時，方程也變得比較簡單。同樣也可以解得 u 函式在 r 趨於 0 的時候則有如下漸進行為。而另外一個解對應的波函式在 r=0 處過於發散，導致粒子在此處任意小體積元內出現的概率為無窮大，因而也捨去。

最後，將這兩者的漸進行為專門提取出來，定義新的函式 R：

並且將此關係式，代入 u 所滿足的方程，可以得到 R 所滿足的方程：

所以，只需要解出 R，就能解出氫原子的徑向薛定諤方程了。

級數解法與遞推關係 解出能級與徑向波函式

為了解出 R，類比上一節解勒讓德方程的方法，張朝陽將 R 寫成級數展開的形式：

並將其代入到 R 所滿足的方程之中，得到其係數所滿足的遞推關係：

他介紹說，若這個級數有無窮多項，那麼 k 可以取到無窮大，而當 k 很大的時候可以發現，R 的展開係數的遞推關係就與 e 指數的泰勒展開係數的遞推關係一樣，即函式 R（r）在 r 趨於無窮的時候按照 e 指數發散，代回最初的波函式的表示式中，會發現波函式不符合束縛態的條件。

所以，為了得到束縛態，或者說為了讓徑向波函式在無窮遠處趨於 0，必須得要求此級數不能是無窮多項，即必須有個截斷，對應的條件就是在某一個 k 的時候上式遞推關係的分子為零。

“這樣大於 k 的展開係數全部為 0。”他給出答案“根據 α 與 E 的關係，就可以將能量的表示式具體寫出來。”

（由遞推關係匯出氫原子分立能級）

通過推導能清晰看出，氫原子的能級是分立的，而不像經典力學那樣是連續的。

張朝陽再進一步利用 u 與 R 的關係以及徑向波函式與 u 的關係，得到徑向波函式的表示式：

他介紹，若將這個徑向波函式歸一化，並結合上節課解得的角向波函式，就能得出氫原子整體波函式的表示式：

“其中 n 稱為主量子數，用來標記能級。l 稱為角量子數，用來標記角動量。m 稱為磁量子數，用來標記角動量的 z 分量。”他解釋。

（最終解得的氫原子波函式）

解得氫原子徑向波函式後，張朝陽具體帶網友看了看氫原子的基態，這時 Z 取為 1，n 取 1，l 與 m 都取 0。根據量子態的概率詮釋，可以利用徑向波函式計算出電子出現在不同半徑球殼的概率。

可以發現，當球殼半徑剛好為波爾半徑的時候，電子出現的概率最大，即氫原子半徑正是波爾半徑，這說明氫原子薛定諤方程解出的氫原子半徑正好與粗糙的舊量子力學得出的氫原子半徑驚人地一致。

（推導氫原子半徑）

推導過程中，因為需要用到很多數學知識，張朝陽一度開玩笑說，“今天是堂數學課，你們跟我學數學了。”他也解釋說，“我們這個課，你說大學水平也好，中學水平也好，我們是為了解決問題，逢山開道，遇水架橋。需要用到什麼就學什麼。”

自 11 月 5 日至今，《張朝陽的物理課》已直播二十餘期。在第一、二課中，張朝陽科普了“力”和“速度”，算出馬斯克的飛船和中國空間站每日繞地飛行圈數；第三、四課和“振動”相關，科普可見光的基本知識；第五、六課引發了關於音速和溫度的大討論；在第七、八、九課重溫經典物理學的兩朵烏雲。

第十、十一課重點回顧黑體輻射曲線及其應用；第十二、十三、十四課嘗試進入愛因斯坦的思想世界，推匯出著名的公式“E=mc²”，並論證鐘慢尺縮效應；第十五課講解了原子的結構和原子核的衰變；第十六課開始進入量子力學，討論光的波粒二象性、康普頓散射、海森堡不確定性原理，以及薛定諤方程等。

從二十餘期的物理課可以看出，《張朝陽的物理課》的直播風格獨樹一幟 —— 通過觀察日常生活現象、用網友最熟悉的話題來提升興趣，再以公式推導的方式解釋其背後的物理原理，“透過現象看本質”，進而反過來解決生活中的類似問題。

張朝陽認為研究自然界是特別有意思的事情，他希望物理課的受眾能保有好奇心，“在好奇心驅使下，瞭解自然界的奧祕，瞭解我們在這個世界生存的道理”。在後續課程中，他還將繼續以這種直播風格解釋生活中常見的物理現象，讓普通人能夠聽懂、專業人士也能認可，激發科學學習的熱潮。該課程於每週週五、週日 12 時在搜狐視訊直播。同時，網友可以在搜狐視訊“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看往期完整視訊回放。