1 月 16 日 12 時，《張朝陽的物理課》第二十期開播。搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，繼續研究量子力學。課程中，他帶著網友複習無限深勢阱的薛定諤方程的解、簡述解氫原子問題的重大意義；介紹算符對易關係和運算規則，嘗試在三維空間座標系下應用薛定諤方程，研究氫原子的定態解並尋找新的正則變數，將二體系統化為質心運動部分與相對運動部分，為後續課程解決氫原子問題，做好知識和推導上的準備。

“前面用兩堂課來介紹量子力學發現的背景，上一講正式談量子力學，初步‘嘗’了一下薛定諤方程怎麼解。今天我們‘進軍’氫原子，研究氫原子最簡單的狀況。”張朝陽直奔主題，“我對氫原子很感興趣，理解了氫原子問題，我們將來就有可能理解萬物。”他說，“不過，別小看氫原子，要解起來太複雜。”

算符乘法講究對易關係 左右順序在此非常關鍵

“我們只學會一丁點兒量子力學的知識，就來解最難的氫原子問題。”為解決氫原子問題，張朝陽進一步介紹算符的運算規則與對易關係。

他指出，算符可以相加，算符之和作用到波函式上，定義為分別作用到波函式上再求和。加法滿足交換率與結合率，跟傳統的加法無異，但是算符的乘法就與傳統的乘法非常不同了。算符之積作用到波函式上，定義為先作用右邊的算符再作用左邊的算符。這樣算符的乘積裡左邊算符與右邊算符位置是不能隨意交換的，即算符之積不滿足交換率，這導致了量子力學與經典力學有非常不同的性質。為了描述這種乘積順序的不對易性，我們引入“對易關係”，將兩個算符之積的不同順序相減，具體用數學符號表示為：

張朝陽具體介紹算符的加法乘法與對易關係之間的運算規則，他邊說邊在“直播小白板”上推導：

▲對易關係與加法乘法的運算規則

他指出，瞭解這些算符的運算規則，才能順利解氫原子的薛定諤方程。

兩體系統選取質心座標 分離變數體現內部特徵

實際上，氫原子由質子與電子組成，其薛定諤方程包含描述質子與電子的算符，是個二體系統，張朝陽向網友展現氫原子的薛定諤方程：

張朝陽介紹，雖然氫原子的薛定諤方程中，電子與質子的動能項是分開的，但由於質子與電子之間的勢能與他們之間的相對距離有關，所以不能單純地把電子與質子分開，會導致這個方程變得很複雜。他表示，要解這個方程，需要重新找一組變數，新的這組變數不僅需要滿足原來的正則對易關係，而且可以將複雜的二體薛定諤方程分解成單體薛定諤方程。

張朝陽講到，根據勢能只與電子和質子的相對距離有關這個性質，可考慮將電子與質子組成的二體系統，分解為相對運動與質心運動，新的這組變數與原來的質子電子變數形成關係。

經過推導，張朝陽帶著網友證明了這組新的變數滿足正則對易關係。

另外，他們還發現，利用這組新變數可將原來的氫原子定態薛定諤方程改寫。

在這個新形式的哈密頓量中，第一項是關於質心運動的，而第二項與第三項是關於相對運動的，從而波函式的質心運動部分與相對運動部分可以分開。

代入到薛定諤方程之中，再利用分離變數法，就將原來的二體定態薛定諤方程，分解為質心運動部分與相對運動部分。

（二體定態薛定諤方程分解為質心運動部分與相對運動部分）

“可以看出，能量被分為質心運動能量與相對運動能量，其中質心運動能量對應的薛定諤方程，是描述電子與質子整體自由運動的方程，而相對運動能量對應的定態薛定諤方程，則是關於氫原子內部結構的方程，氫原子能級與氫原子的波函式將會從這個方程裡匯出。”張朝陽介紹。

“今後還要花四、五節課把氫原子的問題給算出來。”直播尾聲，他告訴網友，“下一堂課，將探討角動量問題。”