觀察下面一個三維矩陣，這個矩陣對應的線性空間變換是繞向量（1，1，1）所在直線旋轉90度，同時所有基向量長度都拉伸為原來兩倍：

　　這個矩陣對應的線性空間變換相對簡單，那麼對於複雜一些的旋轉矩陣，我們有沒有辦法求得它的旋轉軸和拉伸倍數呢？

　　試想在旋轉的過程中，旋轉軸上的所有向量經過變換後一定還在旋轉軸所在直線上，因此我們可以設旋轉軸上有任一向量ζ，它經過三維矩陣A對應空間變換後拉伸了λ倍，因此有以下式子成立：

　　也就是說，向量ζ由於處在旋轉軸上，它經過A矩陣對應變換得到的向量和直接伸縮λ倍（乘以λ）得到的向量是相同的。因此我們可以得到如下推導：

　　最後我們得到了一個齊次線性方程組，這個方程組有非零解則矩陣（A-λI_n

　　通過剛才求旋轉軸的過程我們得到的λ和ζ分別稱為矩陣A的特徵值和特徵向量，但是值得注意的是，特徵向量所在的直線不一定是旋轉軸，但當矩陣對應的線性變換中有旋轉時，旋轉軸一定是特徵向量所在的直線，也就是說，所在直線是旋轉軸的向量可以理解為一類特殊的特徵向量。因此，剛才展示的求旋轉軸的過程是有瑕疵的，求出來的特徵值和特徵向量可能不止一組，但是所有的旋轉軸一定都在其中，所以求旋轉軸時還需要對求得的特徵向量一一甄別。