乘積最大

給定 $N$ 個整數 $A_{1},A_{2},…A_{N}$。

請你從中選出 $K$ 個數，使其乘積最大。

請你求出最大的乘積，由於乘積可能超出整型範圍，你只需輸出乘積除以 $1000000009$ 的餘數。

注意，如果 $X<0$， 我們定義 $X$ 除以 $1000000009$ 的餘數是負$\left( {−X} \right)$除以 $1000000009$ 的餘數，即：$0 - \left( {\left( {0 - x} \right)\% 100000009} \right)$

輸入格式

第一行包含兩個整數 $N$ 和 $K$。

以下 $N$ 行每行一個整數 $A_{i}$。

輸出格式

輸出一個整數，表示答案。

資料範圍

$1 \leq K \leq N \leq {10}^{5}$,
${−10}^{5} \leq A_{i} \leq {10}^{5}$

輸入樣例1：

5 3
-100000
-10000
2
100000
10000

輸出樣例1：

999100009

輸入樣例2：

5 3
-100000
-100000
-2
-100000
-100000

輸出樣例2：

-999999829

解題思路

　　由於數中可能會有負數，為了儘可能得到正數，每次我們都成對選數。

1. $k == n$，則全選。
2. $k < n$：
   1. 如果$k$是偶數，結果必然可以取到非負，原因如下：
      1. 如果負數的個數是偶數個，那麼我們每次都成對去選，必然可以保證選的負數是偶數個，從而保證答案可以是非負的。
      2. 如果負數的個數是奇數個，由於$k < n$，我們一定可以把其中一個負數剔除掉，不選這個負數，那麼負數又變成偶數個，變成上一種情況，保證答案可以是非負的。
   2. 如果$k$是奇數：
      1. 如果全部數都是負數，結果必然小於$0$。
      2. 如果至少存在一個數是非負的，那麼我們先選擇其中一個非負的數，那麼就變成了從$n - 1$個數中選$k - 1$個數，同時$k - 1$是偶數，又變成了上面第一類的情況，從而保證答案可以是非負的。

　　AC程式碼如下：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cmath>
 3 #include <vector>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 
 7 typedef long long
 
 LL;
 8 
 9 const int N = 1e5 + 10, mod = 1e9 + 9;
10 
11 int a[N];
12 
13 int main() {
14     int n, m;
15     scanf("%d %d", &n, &m);
16     for (int i = 0; i < n; i++) {
17         scanf("%d", a + i);
18     }
19     
20     sort(a, a + n);
21     
22     int ret = 1, i = 0, j = n - 1, sign = 1;
23     if (m & 1) {        // 如果k是奇數
24         ret = a[j--];   // 先選擇最右邊的那個數
25         if (ret < 0) sign = -1; // 如果最右邊的數是負數，意味著全部數都是負數
26         m--;
27     }
28     
29     while (m) {
30         LL left = (LL)a[i] * a[i + 1], right = (LL)a[j] * a[j - 1]; // 每次成對選數
31         
32         // 選擇最左最右乘積最大的一對數。其中如果所有數是負數，那麼應該選擇最右邊的那對
33         if (left * sign > right * sign) {
34             ret = left % mod * ret % mod;
35             i += 2;
36         }
37         else {
38             ret = right % mod * ret % mod;
39             j -= 2;
40         }
41         m -= 2;
42     }
43     
44     printf("%d", ret);
45     
46     return 0;
47 }

參考資料

　　AcWing 1239. 乘積最大（藍橋杯C++ AB組輔導課）：https://www.acwing.com/video/735/