基礎知識

基本操作

// 初始化
void init(){
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		p[i] = i;
}
// 查詢（路徑壓縮）
int find(int x){
	return x == p[x] ? x : (p[x] = find(p[x]));
}
// 普通合併
void union(int x, int y){
	int fx = find(x), fy = find(y);
	if(fx != fy) p[fx] = fy;
}

啟發式合併

• 由於合併時希望操作元素儘量少，就讓少的往大的合併，這就是啟發式合併
• \(n\) 個元素和 \(m\)
  次查詢，時間複雜度為 \(O(mlogn)\)

// 啟發式合併
void union(int x, int y){
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if(fx == fy) return;
    if(sz[fx] > sz[fy])
        swap(fx, fy);
    p[fx] = fy;
    sz[fy] += sz[fx];
}

按深度合併

• 每次合併將深度小的一方合併到深度大的一方
• 路經壓縮時，可能破壞深度值，複雜度不變差

// 按深度合併
void union(int x, int y){
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if(fx == fy) return;
    if(dep[fx] > dep[fy])
        swap(fx, fy);
    p[fx] = fy;
    if(dep[fx] == dep[fy])  // 只有深度相等才更新
        dep[fy]++;
}
 

時間複雜度

• 啟發式合併和深度合併，\(n\) 個元素和 \(m\) 次查詢，時間複雜度為 \(O(mlogn)\)
• 一般來說並查集時間複雜度為 \(O(m*\alpha (m, n))\)。其中 \(\alpha\) 為阿克曼函式的反函式，可以認為是一個小常數
• 無啟發式合併，只路徑壓縮最壞時間複雜度為 \(O(mlogn)\)，平均複雜度為 \(O*\alpha(m,n)\)。
• 可以直接認為 \(O(m)\)