IEEE浮點數
IEEE浮點數
在這節課中講解了有關於浮點數的相關內容，對我來說在理解上比整數的補碼錶示要複雜的多，這裡總結一下課上的內容以及自己的一些理解。
首先要知道對於小數來說，二進位制只能準確表示形如x/2^k這種有理數，不滿足這種形式的數需要迴圈重複位才能被準確表示，但是計算機的位數始終是有限的，因此這些數無法被準確表示。
另外，在有限的位數中，小數點的位置會對錶示數的範圍以及表示的數的精度產生影響。比如小數點靠左的話，所能表示數的範圍就變小了，但是因為小數點右邊的位數增加，因此所能表示的小數精度上升了。反之，同理。
基於上述描述，選用了浮點數這一折中的方法。浮點數的一般形式：(-1)^S×M×2^E
- S表示符號位，決定浮點數的正負，對於數值0也分正負0這種特殊情況
- M表示尾數，是一個二進位制小數
- E表示階碼
浮點數的位被劃分為三個欄位，分別對上述欄位進行編碼。符號位s直接編碼符號位S，k位的階碼編碼階碼E，剩下n位數字編碼尾數M，這個編碼出來的數值也與階碼是否為0有關，後續會介紹到。
下面以C語言中的單精度浮點數(即float)來舉例說明計算機中對於浮點數的編碼。
對於32位的浮點數，最高的一位用於表示符號，接下來的8位用於編碼階碼，最後23位用於編碼尾數。對於符號位的編碼很容易，0表示正數，1表示負數。根據k位的階碼的值的不同，被編碼的值可以分成三種情況：規格化的值，非規格化的值以及特殊值。下面將分別介紹這三種，並在最後給出總結。
1. 規格化的值。
規格化的值的特點是用於編碼階碼E的k位的數值既不全為0，也不全為1。在這裡，階碼E被表示為E = e - Bias。e則是計算機中k位無符號數，取值範圍在0-255(對於float而言)之間，Bias則是一個值為2^(k-1)-1的偏置值，因為這種設定，階碼所能取到的值剛好使得0處於中間位置。剩下用於表示尾數的小數字段f，則M=f+1，相當於有一個隱含的以1開頭的表示，因此M的範圍就是M>=1 && M < 2。
2. 非規格化的數。
當階碼域，即e全為0時，表示的數是非規格化形式。此時階碼值E=1-Bias，尾數M=f，並不包含隱含的1。
這裡使階碼值為1-Bias而不是直覺上的-Bias,是為了提供一種從非規格化值平滑到規格化值的方法。舉個例子說明這種平滑過渡：假定有8位格式，一位符號位，4位階碼和3位尾數，那麼最大的非規格化值則是7/512，最小的規格化值則是8/512，實現了平滑過渡。
非規格化數有兩個用途：
- 提供了一種表示0的方法。由於規格化數的尾數部分始終大於等於1，因此無法表示0。那麼這時候就會產生符號位為0/1，階碼域與尾數域均為0的+0.0與-0.0的情況。書中沒有具體說明兩者不同與相同的情況，只是說了在某些方面被認為是不同的，在某些方面是相同的。
- 另外一個功能是表示那些非常接近0.0的數。這裡提到了一種稱為逐漸下溢(gradual underflow)的屬性，使可能的數值均勻地接近於0。
查了一點有關於逐漸下溢的內容，從字面上理解就是一個逐漸朝會下溢的方向走，但是如果使用之前提到的規格化值是無法實現這個目的的，因此誕生了非規格化數來實現這個不斷接近0的過程，就可以表達出更小的數字了
3.特殊的值
特殊值指的是階碼域全為1的時候。此時，當小數域全為0時則表示無窮，符號位為0是正無窮，符號位為1是負無窮。無窮能夠表示溢位的結果。如果小數域不為0，結果值被稱為NaN(Not a Number)。
到這裡就介紹完了C語言中浮點數的表示的介紹，可以看到前人在表示小數上的智慧，通過一系列設計使得計算機表示小數的方式更加合理。接下來，將介紹浮點數在實際計算中的一些性質，主要是介紹舍入以及浮點數運算的基本情況。
舍入
根據IEEE的標準，有四種舍入方式：向上舍入，向下舍入，向0舍入，向偶數舍入。其中向偶數舍入有其統計學上的意義，即50%的情況下向上舍入，50%的情況下向下舍入。在支援IEEE浮點數的機器上，使用向偶數舍入的舍入方式。
這裡是否是偶數只考慮最低有效位是否是偶數
浮點數運算
浮點數運算中，令我印象最深刻的則是加法/乘法均不符合結合律。
(3.14+1e10)-1e10 != 3.14 + (1e10-1e10)
但是浮點數加法/乘法滿足單調性，這是無符號數或者補碼的加法/乘法所沒有的。
單調性即，如果a >= b,那麼對於任何的a,b,x(除了NaN),都有x+a>=x+b
C語言中，在進行型別轉換時，int->double不會有損失，而int->float時，由於int的位數比float的尾數位數多，因此會出現舍入。
總結
這篇筆記基於《深入理解計算機系統》以及作者相應的課程。有關於浮點數值得探究的內容還有很多，這裡只是做了個一個大致的介紹，在遇到實際的問題時，還需要具體問題具體分析，結合語言特點解決問題。比如C語言的標準並不要求機器使用IEEE浮點，因此沒有標準的方法來改變舍入方式或者得到-0，+∞、-∞或者NaN之類的特殊值。
參考資料
深入理解計算機系統原書第三版