[AcWing 868] 篩質數
阿新 • • 發佈：2022-05-08
埃氏篩法 複雜度 $ O(n*log(log(n))) $
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#include<iostream> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int primes[N], cnt; bool st[N]; void get_primes(int n) { for (int i = 2; i <= n; i ++) { if (st[i]) continue; primes[cnt ++] = i; for (int j = i; j <= n; j += i) st[j] = true; } } int main() { int n; cin >> n; get_primes(n); cout << cnt << endl; return 0; }
- 每次篩到質數時，把該質數的倍數都篩掉；（由唯一分解定理，合數的因子中必然有小於它的質數，用小於它的質數必定可以把這個合數篩掉）；
線性篩法 複雜度 \(O(n)\)
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#include<iostream> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int primes[N], cnt; bool st[N]; void get_primes(int n) { for (int i = 2; i <= n; i ++) { if (!st[i]) primes[cnt ++] = i; for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++) { st[primes[j] * i] = true; if (i % primes[j] == 0) break; } } } int main() { int n; cin >> n; get_primes(n); cout << cnt << endl; return 0; }
- 合數 x 只會被最小質因子篩掉，原因如下：
① primes 裡面的質數是從小到大擺放；
② 每次篩的是 primes[j] * i；
③ 如果 i % primes[j] == 0，primes[j] 一定是 i 的最小質因子，那麼 primes[j] 一定也是 primes[j] * i 的最小質因子；
④ 如果 i % primes[j] != 0，primes[j] 一定小於 i 的所有質因子，那麼 primes[j] 一定也是 primes[j] * i 的最小質因子； - 合數 x 一定會被篩掉，原因如下：
假設 primes[j] 是 x 的最小質因子（由唯一分解定理，一定存在），當 i 列舉到 x / primes[j] 時，st[primes[j] * i] = true 可以把 x 篩掉；