對容斥原理的描述

容斥原理是一種重要的組合數學方法，可以讓你求解任意大小的集合，或者計算複合事件的概率。

描述

       容斥原理可以描述如下：

         要計算幾個集合並集的大小，我們要先將所有單個集合的大小計算出來，然後減去所有兩個集合相交的部分，再加回所有三個集合相交的部分，再減去所有四個集合相交的部分，依此類推，一直計算到所有集合相交的部分。

關於集合的原理公式

      上述描述的公式形式可以表示如下：
       

      它可以寫得更簡潔一些，我們將B作為所有Ai的集合，那麼容斥原理就變成了：

         這個公式是由 De Moivre (Abraham de Moivre)提出的。

關於維恩圖的原理

       用維恩圖來表示集合A、B和C：

         那麼的面積就是集合A、B、C各自面積之和減去 , ,  的面積，再加上的面積。

         由此，我們也可以解決n個集合求並的問題。

關於概率論的原理

       設事件， 代表發生某些事件的概率（即發生其中至少一個事件的概率），則：

         這個公式也可以用B代表Ai的集合：

容斥原理的證明

       我們要證明下面的等式：

         其中B代表全部Ai的集合

         我們需要證明在Ai集合中的任意元素，都由右邊的算式被正好加上了一次（注意如果是不在Ai集合中的元素，是不會出現在右邊的算式中的）。

         假設有一任意元素在k個Ai集合中（k>=1），我們來驗證這個元素正好被加了一次：

         當size(C)=1時，元素x被加了k次。

         當size(C)=2時，元素x被減了C(2,k)次，因為在k個集合中選擇2個，其中都包含x。

         當size(C)=3時，元素x被加了C(3,k)次。

         ……

         當size(C)=k時，元素x被加/減了C(k,k)次，符號由sign(-1)^(k-1)決定。

         當size(C)>k時，元素x不被考慮。

         然後我們來計算所有組合數的和。

         由二項式定理，我們可以將它變成：

         我們把x取為1，這時表示1-T（其中T為x被加的總次數），所以，證明完畢。

對於實際問題的應用

       容斥原理的理論需要通過例子才能很好的理解。

         首先，我們用三個簡單的例子來闡釋這個理論。然後會討論一些複雜問題，試看如何用容斥原理來解決它們。

         其中的“尋找路徑數”是一個特殊的例子，它反映了容斥問題有時可以在多項式級複雜度內解決，不一定需要指數級。

一個簡單的排列問題

       由0到9的數字組成排列，要求第一個數大於1，最後一個數小於8，一共有多少種排列？

         我們可以來計算它的逆問題，即第一個元素<=1或者最後一個元素>=8的情況。

         我們設第一個元素<=1時有X組排列，最後一個元素>=8時有Y組排列。那麼通過容斥原理來解決就可以寫成：

         經過簡單的組合運算，我們得到了結果：

         然後被總的排列數10!減，就是最終的答案了。

（0,1,2）序列問題

       長度為n的由數字0，1，2組成的序列，要求每個數字至少出現1次，這樣的序列有多少種？

         同樣的，我們轉向它的逆問題。也就是不出現這些數字的序列 不出現其中某些數字的序列。

         我們定義Ai(i=0…2)表示不出現數字i的序列數，那麼由容斥原理，我們得到該逆問題的結果為：

           可以發現每個Ai的值都為2^n（因為這些序列中只能包含兩種數字）。而所有的兩兩組合都為1（它們只包含1種數字）。最後，三個集合的交集為0。（因為它不包含數字，所以不存在）

        要記得我們解決的是它的逆問題，所以要用總數減掉，得到最終結果：

方程整數解問題

       給出一個方程：

         其中。

        求這個方程的整數解有多少組。

        我們先不去理會xi<=8的條件，來考慮所有正整數解的情況。這個很容易用組合數來求解，我們要把20個元素分成6組，也就是新增5塊“夾板”，然後在25個位置中找5塊“夾板”的位置。

         然後通過容斥原理來討論它的逆問題，也就是x>=9時的解。

         我們定義Ak為xk>=9並且其他xi>=0時的集合，同樣我們用上面的新增“夾板”法來計算Ak的大小，因為有9個位置已經被xk所利用了，所以：

         然後計算兩個這樣的集合Ak、Ap的交集：

         因為所有x的和不能超過20，所以三個或三個以上這樣的集合時是不能同時出現的，它們的交集都為0。最後我們用總數剪掉用容斥原理所求逆問題的答案，就得到了最終結果：

求指定區間內與n互素的數的個數：

       給出整數n和r。求區間[1;r]中與n互素的數的個數。

         去解決它的逆問題，求不與n互素的數的個數。

         考慮n的所有素因子pi(i=1…k)

         在[1;r]中有多少數能被pi整除呢？它就是：

         然而，如果我們單純將所有結果相加，會得到錯誤答案。有些數可能被統計多次（被好幾個素因子整除）。所以，我們要運用容斥原理來解決。

         我們可以用2^k的演算法求出所有的pi組合，然後計算每種組合的pi乘積，通過容斥原理來對結果進行加減處理。

         關於此問題的最終實現：