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2419. prufer序列

本題需要你實現prufer序列與無根樹之間的相互轉化。

假設本題涉及的無根樹共有 \(n\) 個節點，編號 \(1 \sim n\)。

為了更加簡單明瞭的描述無根樹的結構，我們不妨在輸入和輸出時將該無根樹描述為一個以 \(n\) 號節點為根的有根樹。

這樣就可以設這棵無根樹的父親序列為 \(f_1,f_2,…,f_{n-1}\)，其中 \(f_i\) 表示將該樹看作以 \(n\) 號節點為根的有根樹時，\(i\) 號節點的父節點編號。

同時，設這棵無根樹的prufer序列為 \(p_1,p_2,…,p_{n-2}\)。

現在，給定一棵由 \(n\) 個節點構成的無根樹，以及該無根樹的一個序列（父親序列或prufer序列），請你求出另一個序列。

輸入格式

輸入共兩行。

第一行包含兩個整數 \(n,m\)，表示無根樹的節點數以及給定序列型別。

如果 \(m = 1\)，則第二行包含 \(n-1\) 個整數，表示給定序列為父親序列。

如果 \(m = 2\)，則第二行包含 \(n-2\) 個整數，表示給定序列為prufer序列。

輸出格式

共一行，輸出另一個序列，整數之間用單個空格隔開。

資料範圍

\(2 \le n \le 10^5\)

輸入樣例1：

6 1
3 5 4 5 6

輸出樣例1：

3 5 4 5

輸入樣例2：

6 2
3 5 4 5

輸出樣例2：

3 5 4 5 6

解題思路

prufer編碼

prufer編碼主要作用即將一棵無根樹轉化為一個序列（即prufer序列），另外prufer序列也可以反過來轉化為一棵樹，即prufer序列和樹之間是一一對應的，常用來解決一些證明問題，如凱萊定理等
證明凱萊定理（一個無向完全圖有 \(n^{n-2}\)

prufer編碼的流程：假定 \(n\) 號節點為根，找到除根外度數最小的節點，在刪除該節點之前，將其父節點輸出，重複該流程，直到最後只剩下兩個節點，即prufer序列只有 \(n-2\) 個元素，因為prufer序列最多 \(n-1\) 個元素，而最後一個元素一定為 \(n\)，所以這個元素可以省略，輸出的元素即為prufer序列
\(\color{red}{如何將一棵樹線性時間內轉化為prufer序列？}\)

\(\color{red}{如何將一個prufer序列轉化為一棵樹？}\)
先將 \(n\) 這個節點加入到prufer序列中，不難發現，prufer序列中某個數出現的次數即為該數在樹中的兒子節點的數量，從 \(1\) 開始找到兒子數量為 \(0\) 且編號最小的節點 \(j\)，其父節點即為當前遍歷的prufer序列的元素，將該元素從prufer序列中刪去，因為刪除該元素後兒子數量為 \(0\) 的節點數量至多直接增加一個，如果該元素的兒子數量為 \(0\) 且編號小於 \(j\)，說明當前節點即為兒子數量為 \(0\) 且編號最小的節點，遞迴處理即可，這樣的 \(j\) 同樣也是遞增的，故可以線上性時間內將一個prufer序列轉化為一棵樹

• 時間複雜度：\(O(n)\)

程式碼

// Problem: prufer序列
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2421/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1e5+5;
int n,m;
int f[N],p[N],d[N];
void tree2prufer()
{
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d",&f[i]);
		d[f[i]]++;
	}
	for(int i=0,j=1;i<n-2;j++)
	{
		while(d[j])j++;
		p[i++]=f[j];
		while(i<n-2&&--d[p[i-1]]==0&&p[i-1]<j)p[i++]=f[p[i-1]];
	}
	for(int i=0;i<n-2;i++)printf("%d ",p[i]);
}
void prufer2tree()
{
	for(int i=1;i<=n-2;i++)
	{
		scanf("%d",&p[i]);
		d[p[i]]++;
	}
	p[n-1]=n;
	for(int i=1,j=1;i<n;i++,j++)
	{
		while(d[j])j++;
		f[j]=p[i];
		while(i<n&&--d[p[i]]==0&&p[i]<j)f[p[i]]=p[i+1],i++;
	}
	for(int i=1;i<n;i++)printf("%d ",f[i]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(m==1)tree2prufer();
    else
    	prufer2tree();
    return 0;
}