Prufer序列性質&證明

阿新 • • 發佈：2020-07-23

前言

下午HHY還有AAK看到了這個
質問我Prufer序列是啥
被迫複習一波

引入

直接從題目看吧
[HNOI2004]樹的計數
大概意思就是給你n個節點
告訴你每個節點的度數
然後問你根據這些度數能夠生成多少棵樹
看樣例

4  
2 1 2 1

畫個圖解釋一下

題目中給出的樣例只有這兩種情況，所以輸出答案為2
我們更關心答案怎麼來的，下面來講一下$Prufer$序列

Prufer序列

性質一

存在無根樹轉為$Prufer$序列以及$Prufer$序列轉為無根樹兩種操作，換言之，上述兩者是互射的（可以互相轉化）

證明一

無根樹轉$Prufer$
- 找到編號最小且度數為1的點
- 刪除該節點，並且在序列中新增與該節點連線的節點
- 重複1、2操作，直至樹上只剩下兩個點
Prufer轉無根樹
- 設$Prufer$序列為集合$M$，另一個集合 $G { 1,2,3…n }$
- 每次提取M中最靠前的元素u與G中不存在與M且最靠前的元素v，將u與v連邊，分別在兩個集合中刪除u、v。
- 最後將G中剩下的兩個元素連邊

舉個栗子
看上面的第一個圖

圖轉$Prufer$序列
先找到2，刪除2和2->1連邊，將1入列，刪除1和1->3連邊，3入列，序列就是“1，3”

$Prufer$序列轉圖
取出M中的1和G中的2連邊，分別刪除兩個集合中的元素
取出M中的3和G中的1連邊，然後……同上……
此時，M空了，G中只剩下了3，4，連線3，4就行了

性質二

$Prufer$序列是一種對有標號無根樹的編碼，長度為節點數-2

證明二

看證明一當中轉換的要求
直至樹上只剩下兩個點
可以看到最後有兩個點直接忽略
因為此時再判斷順序沒有意義
那就是總數-2

性質三

對於給定的n個點度數，可以構造的樹的數量為
$ (n-2)!/((d1-1)!×(d2-1)!×…×(dn-1)!) $

證明三

需要一丟丟前置知識

因為每個點的度數為d，在構造序列的時候
我們會發現，每有一個度數就會入序列一次
但是還要留一次給刪除操作，就不入序列了
所以對於度數為$d_i$的點i
入序列的次數為$d_i-1$
由性質一可知序列和圖之間是一一對應關係
所以說n個點的序列長度為n-2
其全排列為$(n-2)!$
但是考慮到在序列中會有好多重複出現的點
比如1,1,2
按照位置全排列$A_3^3$有6種
但是實際上只有1,1,2 1,2,1 2,1,1一共3種
只需要$\frac {A_3^3} {(d_1-1)!}$就是正確的不重複的樹的數量
於是乎，上述結論被證明
即
對於給定的n個點度數，可以構造的樹的數量為

\[(n-2)!/((d1-1)!×(d2-1)!×…×(dn-1)!) \]

程式碼實現

對於這個題目，需要判斷幾個地方
當轉換prufer序列的時候，如果入列次數！=n-2，就一定有問題，輸出0
還有，如果有的節點度數為0，那圖就不聯通，那就輸出0
然後對於個數的求解
組合數打個表就可以了

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=155;
int c[maxn][maxn];
int ans,d[maxn];
int sum;
int n;

inline void pre(){
	for(int i=0;i<=n;i++){
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
	}
}

int main(){
	cin>>n;
	if(n==1){
		cin>>d[1];
		if(d[1]==0) cout<<1<<endl;
		else cout<<0<<endl;
		return 0;
	}
	pre();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>d[i];
		if(!d[i]) return cout<<0<<endl,0;
		d[i]--;
		sum+=d[i];
	}
	if(sum!=n-2) return cout<<0<<endl,0;
	sum=0,ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans*=c[n-2-sum][d[i]],sum+=d[i];
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}