博主太菜，可能會炸聯賽，於是惡補一下 QAQ

動態更新

「eJOI2017」Experience

update - 2020.7.27

樹形 dp

設 \(f(x, 0), f(x, 1)\) 分別表示以 \(x\) 為根的子樹，\(x\) 所在鏈為向下（非嚴格）遞減、遞增時的答案。

題目中要求求極差，那麼結點 \(x\) 可能為最大值或最小值。

以向下遞減為例，我們在所以滿足 \(W_x \ge W_y\) 的所有子結點 \(y\) 中，將原本 \(y\) 的貢獻用 \(x\) 作為新的最大值替換，並更新 \(f(x, 0)\) 的答案。向下遞增也是同理，不過這裡是作為最小值，因此符號會改變。

在做結點 \(x\)

那麼狀態轉移方程（\(\leftarrow\) 表示最（大）值操作）：

\[f(x, 0) \leftarrow \max\limits_{y\in \text{son}(x), W_x \ge W_y}\{p - \max(f(y, 0), f(y, 1)) + W_x - W_y\}\\ f(x, 1) \leftarrow \max\limits_{y\in \text{son}(x), W_x \le W_y}\{p - \max(f(y, 0), f(y, 1)) - W_x + W_y\} \]

時間複雜度 \(O(n)\)。

「eJOI2018」山

update - 2020.7.27

設 \(f(n, k, 0), f(n, k, 1), f(n, k, 2)\) 表示 \([1, n]\) 中，建造了 \(k\) 座房子，且第 \(n-1\)，第 \(n\) 個位置的狀態分別為 \((0,0),(1, 0), (0, 1)\) 時（\(0\) 表示沒有房子，\(1\) 表示有）的最小花費時間。

狀態轉移方程：

\[f(n, k, 0) = \min\{f(n-1, k, 0), f(n-1, k, 1)\} \\ f(n, k, 1) = f(n-1, k, 2) + \text{get}(a_n - a_{n - 1} + 1)\\ f(n, k, 2) = \min\{f(n-1, k-1, 0) + \text{get}(a_{n-1} - a_n + 1), f(n-1, k-1,1)+\text{get}(\min(a_{n-2}-1, a_{n-1})-a_{i}+1)\}\\ \text{其中 } \text{get}(x)=\max(x, 0) \]

時間複雜度 \(O(n^2)\)。

「CSP2019-J」紀念品

update - 2020.7.27

揹包 dp

直接存物品的個數顯然原地昇天。但仔細想一下發現，轉換成統一在第 \(i\) 天買，然後在第 \(i+1\) 天賣，其實等價。因為即使對某種物品實際上並不操作，換成全賣了然後買回來也未嘗不可。

不難設計出一個比較暴力的狀態：\(f(i, j, k)\) 表示第 \(i\) 天，對於前 \(j\) 個物品，剩餘現金為 \(k\) 時，下一天手頭上的最大現金數。轉移方程顯然。

為了不空間爆炸，我們嘗試優化。第一維顯然可以縮掉——我們只要上一輪的最優值即可。剩下了兩維看著像一個揹包，於是倒序以下就只剩最後一維了。方程：

\[f(k) \leftarrow \max(f(k), f(k - P_{i, k})+P_{i, k+1}-P_{i, k}) \]

時間複雜度 \(O(TN\times \max P)\)。