08.03 魔術索引

題目

魔術索引。 在陣列A[0...n-1]中，有所謂的魔術索引，滿足條件A[i] = i。給定一個有序整數陣列，編寫一種方法找出魔術索引，若有的話，在陣列A中找出一個魔術索引，如果沒有，則返回-1。若有多個魔術索引，返回索引值最小的一個。

思路

講真，這題。。。我不想說啥了。。。就是返回第一個nums[i]=i的下標。。。

程式碼

class Solution:
    def findMagicIndex(self, nums: List[int]) -> int:
        for i in range(len(nums)):
            if i == nums[i]:
                return i
        return -1
 

複雜度分析

時間複雜度：O(n)

空間複雜度：O(1)

04 尋找兩個正序陣列中的中位數

題目

給定兩個大小為 m 和 n 的正序（從小到大）陣列 nums1 和 nums2。

請你找出這兩個正序陣列的中位數，並且要求演算法的時間複雜度為 O(log(m + n))。

你可以假設 nums1 和 nums2 不會同時為空。

思路

由於題目規定了時間複雜度為O(log(m+n))，所以比較合適的演算法為二分查詢。

程式碼

class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
        def getKthElement(k):
            """
            - 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那麼就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 進行比較
            - 這裡的 "/" 表示整除
            - nums1 中小於等於 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共計 k/2-1 個
            - nums2 中小於等於 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共計 k/2-1 個
            - 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，兩個陣列中小於等於 pivot 的元素共計不會超過 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 個
            - 這樣 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
            - 如果 pivot = pivot1，那麼 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把這些元素全部 "刪除"，剩下的作為新的 nums1 陣列
            - 如果 pivot = pivot2，那麼 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把這些元素全部 "刪除"，剩下的作為新的 nums2 陣列
            - 由於我們 "刪除" 了一些元素（這些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，減去刪除的數的個數
            """
            
            index1, index2 = 0, 0
            while True:
                # 特殊情況
                if index1 == m:
                    return nums2[index2 + k - 1]
                if index2 == n:
                    return nums1[index1 + k - 1]
                if k == 1:
                    return min(nums1[index1], nums2[index2])

                # 正常情況
                newIndex1 = min(index1 + k // 2 - 1, m - 1)
                newIndex2 = min(index2 + k // 2 - 1, n - 1)
                pivot1, pivot2 = nums1[newIndex1], nums2[newIndex2]
                if pivot1 <= pivot2:
                    k -= newIndex1 - index1 + 1
                    index1 = newIndex1 + 1
                else:
                    k -= newIndex2 - index2 + 1
                    index2 = newIndex2 + 1
        
        m, n = len(nums1), len(nums2)
        totalLength = m + n
        if totalLength % 2 == 1:
            return getKthElement((totalLength + 1) // 2)
        else:
            return (getKthElement(totalLength // 2) + getKthElement(totalLength // 2 + 1)) / 2
 

複雜度分析

時間複雜度： O(log(m+n))

空間複雜度：O(1)