207. 課程表

題目來源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/course-schedule

題目

你這個學期必須選修 numCourse 門課程，記為 0 到 numCourse-1 。

在選修某些課程之前需要一些先修課程。 例如，想要學習課程 0 ，你需要先完成課程 1 ，我們用一個匹配來表示他們：[0,1]

給定課程總量以及它們的先決條件，請你判斷是否可能完成所有課程的學習？

示例 1:

輸入: 2, [[1,0]]
輸出: true
解釋: 總共有 2 門課程。學習課程 1 之前，你需要完成課程 0。所以這是可能的。

示例 2:

輸入: 2, [[1,0],[0,1]]
輸出: false
解釋: 總共有 2 門課程。學習課程 1 之前，你需要先完成​課程 0；並且學習課程 0 之前，你還應先完成課程 1。這是不可能的。
 

提示：

1. 輸入的先決條件是由 邊緣列表 表示的圖形，而不是 鄰接矩陣 。詳情請參見圖的表示法。
2. 你可以假定輸入的先決條件中沒有重複的邊。
3. 1 <= numCourses <= 10^5

解題思路

思路：拓撲排序（BFS，DFS）

其實，這是一道經典的【拓撲排序】問題。

首先先審題，結合示例 1 和示例 2，我們其實可以看到，其實題目問的是給定輸入先決條件表示的圖形（也就是課程表）是否是有向無環圖。也是說，當確定先決條件之後，圖形不能存在環，否則不成立。

有向無環圖（DAG）：指的一個有向圖從任意頂點出發無法經過若干條邊回到該點，則該圖是一個有向無環圖。

有向無環圖，詳細資訊可由下方入口進行了解

https://en.wikipedia.org/wiki/Directed_acyclic_graph （維基百科：有向無環圖）
https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%89%E5%90%91%E6%97%A0%E7%8E%AF%E5%9B%BE/10972513?fr=aladdin （百度百科：有向無環圖）

那麼當要求課程安排圖是否是有向無環圖時，我們用拓撲排序來判斷。拓撲排序：將圖所有頂點進行排序成線性序列，使得圖中任意一個有向邊 uv，u 線上性序列中出現在 v 前面。

拓撲排序，詳細資訊可由下方入口進行了解
https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_sorting

（維基百科：拓撲排序）
https://baike.baidu.com/item/%E6%8B%93%E6%89%91%E6%8E%92%E5%BA%8F/5223807?fr=aladdin （百度百科：拓撲排序）

在題目中的提示中有說明，輸入的先決條件時由 邊緣列表 表示，在這裡，我們要將此轉換為 鄰接表。

鄰接表，詳細資訊可由下方入口進行了解
https://en.wikipedia.org/wiki/Adjacency_list （維基百科：鄰接表）
https://baike.baidu.com/item/%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8/9796152?fr=aladdin （百度百科：鄰接表）

廣度優先搜尋（BFS）

首先，先將邊緣列表表示的先決條件轉換得到鄰接表。然後統計圖中每個節點的入度情況，儲存在一個列表中。（當入度為 0 時，表示點不作為任何邊的終點，也就說該點是所有連線邊的起點）

在這裡，定義輔助佇列 queue，將所有入度為 0 的節點存入佇列中，用於後續處理。

開始進行搜尋，令佇列中的節點出隊：

• 將當前節點鄰接節點入度減 1；
• 當鄰接節點入度為 0 時，將其入隊。

當佇列中的節點出隊時，令課程總量減 1：

• 如果課程圖是有向無環圖，若完成拓撲排序，那麼所有的節點都會入隊出隊；
• 若是課程圖存在環，那麼一定存在節點入度不為 0 的情況；
• 也就是說，當所有節點入隊出隊後，課程總量為 0 的情況下，也就能證明課程圖是否是有向無環圖。

具體的程式碼見【程式碼實現 # 廣度優先搜尋】

深度優先搜尋（DFS）

我們先看使用深度優先搜尋的思路來判斷圖是否有環。

在這裡，我們藉助一個輔助列表（當然也可以考慮用棧）標記每個節點的狀態：

• 未標記，令此時狀態為 0；
• 臨時標記，令此時狀態為 1；
• 永久標記，令此時狀態為 -1。

開始對每個節點進行深度優先搜尋，當存在環時，返回 False，執行過程如下：

• 當節點狀態為 -1 時，表示已永久標記，此時已搜尋完畢，不許重複搜尋，直接返回 True；
• 當節點狀態為 1 時，表示臨時標記，也就說此節點，在此次深搜中又一次對該節點進行了搜尋，那麼表示圖中存在環，那麼直接返回 False；
• 當狀態為 0 時，先將節點臨時標記（令狀態為 1），然後以此點繼續搜尋，直至遇到終止條件。
• 當節點搜尋完畢，未發現閉環，則去除臨時標記，將節點進行永久標記（令狀態為 -1）

如果所有節點都搜尋完畢後，不存在環，則返回 True。

具體的程式碼見【程式碼實現 # 深度優先搜尋】

程式碼實現

# 廣度優先搜尋
class Solution:
    def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
        from collections import deque

        # 將邊緣列表表示的先決條件轉化為 鄰接表
        adjacency = [[] for _ in range(numCourses)]
        # 定義列表統計圖中每個節點的入度情況
        indegree = [0] * numCourses

        for info in prerequisites:
            adjacency[info[1]].append(info[0])
            indegree[info[0]] += 1
        
        queue = deque()

        # 將入度為 0 的節點入隊
        for i in range(len(indegree)):
            if not indegree[i]:
                queue.append(i)
        # 開始進行搜尋
        while queue:
            u = queue.popleft()
            numCourses -= 1
            # 搜尋鄰接節點
            for v in adjacency[u]:
                # 將鄰接節點入度減 1
                indegree[v] -= 1
                # 如果入度為 0，入隊
                if indegree[v] == 0:
                    queue.append(v)

        return numCourses == 0

# 深度優先搜尋
class Solution:
    def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
        def dfs(adjacency, sign, i):
            if sign[i] == -1:
                return True
            if sign[i] == 1:
                return False
            # 開始搜尋，先進行臨時標記
            sign[i] = 1
            # 以此節點往下搜尋
            for j in adjacency[i]:
                if not dfs(adjacency, sign, j):
                    return False
            sign[i] = -1
            return True

        # 定義輔助列表標記狀態，初始化為 0，表示未標記
        sign = [0] * numCourses
        # 將邊緣列表表示的先決條件轉化為 鄰接表
        adjacency = [[] for _ in range(numCourses)]
        for info in  prerequisites:
            adjacency[info[1]].append(info[0])
        
        # 開始深搜
        for i in range(numCourses):
            if not dfs(adjacency, sign, i):
                return False
        return True

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