劍指 Offer 33. 二叉搜尋樹的後序遍歷序列（單調棧or遞迴）

阿新 • • 發佈：2020-08-06

題目描述

首先這裡需要知道二叉搜尋樹的性質的先驗知識：

二叉搜尋樹又叫二叉排序樹，它或者是一顆空樹，或者是具有以下性質的二叉樹：

若它的左子樹不為空，則左子樹上的所有結點都小於根節點上的值
若它的右子樹不為空，則右子樹上的所有結點都大於根節點上的值
它的左右子樹也分別是二叉搜尋樹

那麼二叉搜尋數的後續遍歷一定有以下特性：

所有的左子樹均小於根節點
所有右子樹均大於根節點
最後一個一定是根節點

輸入一個整數陣列，判斷該陣列是不是某二叉搜尋樹的後序遍歷結果。如果是則返回 true，否則返回 false。假設輸入的陣列的任意兩個數字都互不相同。

 

參考以下這顆二叉搜尋樹：

5
/ \
2 6
/ \
1 3
示例 1：

輸入: [1,6,3,2,5]
輸出: false
示例 2：

輸入: [1,3,2,6,5]
輸出: true
 

提示：

陣列長度  
<= 1000

題解一：遞迴解法參照劍指offer

思路1：自己的解法

首先需要判斷左子樹節點值小於根節點的值，然後判斷右子樹節點值大於根節點的值，然後用遞迴判斷左子樹是不是二叉搜尋樹，再遞迴判斷右子樹是否是二叉搜尋樹，最後將左右子樹的判斷結果bool值相與即可。

class Solution:
    '''
    參考劍指offer書的解法，自己的實現
    '''
    def verifyPostorder(self, postorder):
        if not postorder:
            return True
        root = postorder[len(postorder)-1]
        left  
= True
        for i in range(len(postorder)):
            if root < postorder[i]:
                break
        left_tree = postorder[:i]
        for j in range(i,len(postorder)-1):
            if postorder[j] < root:
                return False
        if len(left_tree) > 1: #判斷左子樹
            left  
= self.verifyPostorder(left_tree)
        elif len(left_tree) == 1:
            if left_tree[0] > root:
                return False
        right = True
        right_tree = postorder[i:len(postorder)-1]
        if len(right_tree) > 1: #判斷右子樹
            right = self.verifyPostorder(right_tree)
        return(left & right)

思路二：遞迴+分治

跟上面思路一差不多，都是判斷左子樹所有節點均小於根節點，右子樹左右節點均大於根節點，然後返回了3個bool值，當這三個均為True，這棵樹才是二叉搜尋樹

    def verifyPostorder(self, postorder: [int]) -> bool:
        def recur(i, j): #i j為左右邊界
            if i >= j: return True #此時根節點數量小於等於1，無需判別
            p = i #如果左子樹符合的話，p則指向左子樹的和右子樹的分界點
            while postorder[p] < postorder[j]: p += 1
            m = p
            #此時判斷p == j如果右子樹都比根節點大的話，此時p則會指向根節點的位置
            while postorder[p] > postorder[j]: p += 1
            #左子樹區間(i ,m-1),右子樹區間(m, j-1)
            return p == j and recur(i, m - 1) and recur(m, j - 1) #遞迴

        return recur(0, len(postorder) - 1)

題解二：單調遞增棧，逆向遍歷陣列

由於二叉搜尋樹是left <root < right的，後續遍歷則是left-right-root，為了保證單調性，可以將後續遍歷倒過來，則變成root->right->left。

翻轉先序遍歷是root->right->left的，基於這樣的性質和遍歷方式，我們知道越往右越大，這樣，就可以構造一個單調遞增的棧，來記錄遍歷的元素。

用單調棧的原因是：

往右子樹遍歷的過程，value是越來越大的，一旦出現了value小於棧頂元素value的時候，就表示要開始進入左子樹了

（如果不是，就應該繼續進入右子樹，否則不滿足二叉搜尋樹的定義），但是這個左子樹是從哪個節點開始的呢？

單調棧幫我們記錄了這些節點，只要棧頂元素還比當前節點大，就表示還是右子樹，要移除。

因為我們要找到這個左孩子節點直接連線的父節點，也就是找到這個子樹的根，只要棧頂元素還大於當前節點，就要一直彈出，直到棧頂元素小於節點，或者棧為空。棧頂的上一個元素就是子樹節點的根。

接下來，陣列繼續往前遍歷，之後的左子樹的每個節點，都要比子樹的根要小，才能滿足二叉搜尋樹，否則就不是二叉搜尋樹。

    def verifyPostorder(self, postorder: [int]) -> bool:
        stack, root = [], float("+inf")
        for i in range(len(postorder) - 1, -1, -1):
            if postorder[i] > root: return False #左子樹比root節點大，則不是二叉搜尋樹
            while (stack and postorder[i] < stack[-1]):
                root = stack.pop() #root記錄子樹節點的根
            stack.append(postorder[i])
        return True

單調棧

單調棧，顧名思義就是棧內元素單調按照遞增(遞減)順序排列的棧。

單調遞增棧：棧中資料出棧的序列為單調遞增序列
單調遞減棧：棧中資料出棧的序列為單調遞減序列

現在有一組數10，3，7，4，12。從左到右依次入棧，則如果棧為空或入棧元素值小於棧頂元素值，則入棧；否則，如果入棧則會破壞棧的單調性，則需要把比入棧元素小的元素全部出棧。單調遞減的棧反之。

10入棧時，棧為空，直接入棧，棧內元素為10。
3入棧時，棧頂元素10比3大，則入棧，棧內元素為10，3。
7入棧時，棧頂元素3比7小，則棧頂元素出棧，此時棧頂元素為10，比7大，則7入棧，棧內元素為10，7。
4入棧時，棧頂元素7比4大，則入棧，棧內元素為10，7，4。
12入棧時，棧頂元素4比12小，4出棧，此時棧頂元素為7，仍比12小，棧頂元素7繼續出棧，此時棧頂元素為10，仍比12小，10出棧，此時棧為空，12入棧，棧內元素為12。