迴圈不變數：在第2 - 6行的while迴圈的每次迭代開始時，a，b的最大公因數與A，B的最大公因數相同。

迴圈不變數的性質：

初始化：

在迴圈的第一次迭代前，a = A，b = B，迴圈不變數顯然成立。

保持：

對於這一性質的證明涉及到輾轉相除法的數學原理。要證迴圈不變數的保持，只需證明a，b的最大公因數等於b，r的最大公因數。要證明這一點，只需證明a，b的因子集與b，r的因子集完全相同。

根據這一數學原理：

    如果a是任一整數而b是任一大於零的整數，則我們總能找到一整數q，使得a = bq + r，這裡r是滿足不等式0 <= r <b的一個整數。

顯然，可以將某次迴圈中a，b，r的關係表示如下：a = qb +r.

假設：u為a，b的任意一個因子，即a = su，b = tu.r = a - qb = su - qtu = (s - qt)u. 這裡的s - qt顯然為正整數。r可以整除u。故而得證b，r的因子集包含a，b的因子集。

假設：u為b，r的任意一個因子，即r= su，b = tu。a = qb + r = qtu + su = (s + qt)u.這裡的s + qt顯然為正整數。a可以整除u。故而得證a，b的因子集包含b，r的因子集。

綜上，可以證明a，b的因子集與b，r的因子集相等，故而得證。

終止：

在迴圈終止時，此時的r = 0，說明:此時a 可以整除b，即b為a，b的最大公因子。即此時的b為A，B的最大公因子。