題目

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題解

想了半天沒想出來

首先需要注意題目中一個十分重要的條件，就是 \(a_{i,j}\ge 0\)，這個條件是我們做出這道題的關鍵，而我們需要做的，是判斷是否存在 \(k\) 使得 \(A^k\) 是一個嚴格正矩陣，即使其每一項都大於 \(0\).

首先，利用 \(a_{i,j}\ge 0\)，我們將矩陣中所有大於 \(0\) 的元素都看成 \(1\)，這樣做為什麼是對的？考慮矩陣乘法，假如有這樣一個算式

\[A\times B=C \]

其中，\(A\) 是 \(n\times m\) 的矩陣，\(B\) 是 \(m\times k\) 的矩陣，那麼這個算式寫成一般形式就是

\[c_{i,j}=\sum_{k=1}^ma_{i,t}\times b_{t,j} \]

也就是說，我們只需知道 \(A\) 的第 \(i\) 行和 \(B\) 的第 \(j\) 列對位乘起來之後求和是否大於 \(0\) 即可，對於這道題，所有的 \(a_{i,j}\ge 0\)，也就是說我們並不在意其值是多少，只要有\(A\) 的第 \(i\) 行和 \(B\) 的第 \(j\) 列對位的某一位恰好同時大於 \(0\)，那麼結果的這一位就一定大於 \(0\).

轉換之後，\(A^k\) 這個嚴格正矩陣其實就是一個全 \(1\) 矩陣，而我們輸入的矩陣無疑是一個 \(01\) 矩陣。

由 \(01\) 矩陣，我們可以想到鄰接矩陣，對於某一個鄰接矩陣 \(D\)，如果 \(d_{i,j}=1\)

將其放到我們的 \(A\) 上面來，如果 \(A^k\) 是嚴格正矩陣，則說明其所有點之間都存在長度為 \(k\) 的路徑，既然存在路徑，則說明其一定是聯通的，那麼我們只需要看一看原圖——也就是 \(A\) 這個鄰接矩陣反映的圖是否是一個連通圖即可。

最後方法很簡單，在 \(A\) 上跑一邊 \(tarjan\) 縮點，看是否只有一個 \(scc\) 即可。

程式碼

#include<cstdio>

#define rep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i>=i##_end_;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=tail[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define ft first
#define sd second
typedef long long LL;
// typedef pair<int,int> pii;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned uint;
#define Endl putchar('\n')
// #define int long long
// #define int unsigned
// #define int unsigned long long

#define cg (c=getchar())
template<class T>inline void read(T& x){
    char c;bool f=0;
    while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    if(f)x=-x;
}
template<class T>inline T read(const T sample){
    T x=0;char c;bool f=0;
    while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    return f?-x:x;
}
template<class T>void fwrit(const T x){//just short,int and long long
    if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
    if(x>9)fwrit(x/10);
    putchar(x%10^48);
}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x<y?y:x;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(const int a,const int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void getInv(int inv[],const int lim,const int MOD){
    inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=lim;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
inline LL mulMod(const LL a,const LL b,const LL mod){//long long multiplie_mod
    return ((a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}

const int maxn=2000;

bool e[maxn+5][maxn+5];

int n;

inline void Init(){
    n=read(1);
    rep(i,1,n)rep(j,1,n)e[i][j]=read(1)>0;
}

int st[maxn+5],st_sz;
bool inst[maxn+5];
int dfn[maxn+5],low[maxn+5],times;
int sz;
void dfs(const int u){
    inst[st[++st_sz]=u]=true;
    dfn[u]=low[u]=++times;
    rep(v,1,n)if(e[u][v]){
        if(!dfn[v])dfs(v),low[u]=Min(low[u],low[v]);
        else if(inst[v])low[u]=Min(low[u],dfn[v]);
    }if(dfn[u]==low[u]){
        sz=0;
        int v;do{
            inst[v=st[st_sz--]]=false;
            ++sz;
        }while(v^u);
    }
}

signed main(){
    Init();
    dfs(1);
    if(sz==n)puts("YES");
    else puts("NO");
    return 0;
}