Description

windy在有向圖中迷路了。 該有向圖有 N 個節點，windy從節點 0 出發，他必須恰好在 T 時刻到達節點 N-1。 現在給出該有向圖，你能告訴windy總共有多少種不同的路徑嗎？ 註意：windy不能在某個節點逗留，且通過某有向邊的時間嚴格為給定的時間。

Input

第一行包含兩個整數，N T。 接下來有 N 行，每行一個長度為 N 的字符串。 第i行第j列為‘0‘表示從節點i到節點j沒有邊。 為‘1‘到‘9‘表示從節點i到節點j需要耗費的時間。

Output

包含一個整數，可能的路徑數，這個數可能很大，只需輸出這個數除以2009的余數。

Sample Input

Sample Output

HINT

30%的數據，滿足 2 <= N <= 5 ； 1 <= T <= 30 。 100%的數據，滿足 2 <= N <= 10 ； 1 <= T <= 1000000000 。

題解

令鄰接矩陣中所有k組成的矩陣為$A_k$，$i$階鄰接矩陣為$T_i$，即$T_{i,a,b}$表示從$a$到$b$恰好走$i$的時間的方案數。

那麽有

$$T_i = \sum_{j=1}^9 A_j * T_{i-j}$$

我們發現，如果我們把$A_j$和$T_i$都看做單個數，那麽這就是經典的線性常系數遞推方程，可以用矩陣快速冪解決。

$A_j,T_i$是矩陣也可以這麽做，只是1變成了單位矩陣，0變成了零矩陣，遞推矩陣變成了“矩陣的矩陣”（當然，在實現上，我們可以把它“拍扁”）。

那麽直接強上矩陣快速冪就行了。

附代碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N = 15;
const int mod = 2009;
int nn;
struct Matrix{
  int v[N * 9][N * 9];
  Matrix() {
    memset(v, 0, sizeof v);
  }
  friend Matrix operator*(const Matrix &a, const Matrix &b) {
    Matrix ans;
    for (int i = 0; i < nn; ++i) 
      for (int j = 0; j < nn; ++j) if (a.v[i][j])
        for (int k = 0; k < nn; ++k)
          ans.v[i][k] = (ans.v[i][k] + a.v[i][j] * b.v[j][k]) % mod;
    return ans;
  }
};
Matrix D;
Matrix ans;
int main() {
  int n, t;
  scanf("%d%d", &n, &t);
  nn = n * 9;
  int x;
  for (int i = 0; i < n; ++i)
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      scanf("%1d", &x);
      if (x) D.v[i][(x - 1) * n + j] = 1;
    }
  for (int i = 0; i < 8 * n; ++i)
    D.v[i + n][i] = 1;
  for (int i = 0; i < n; ++i)
    ans.v[i][i] = 1;
  for (; t; D = D * D, t >>= 1)
    if (t & 1) ans = ans * D;
  printf("%d\n", ans.v[0][n - 1]);
  return 0;
}

BZOJ1297 [SCOI2009]迷路