Description

聰聰和可可是兄弟倆，他們倆經常為了一些瑣事打起來，例如家中只剩下最後一根冰棍而兩人都想吃、兩個人都想玩兒電腦（可是他們家只有一臺電腦）……遇到這種問題，一般情況下石頭剪刀布就好了，可是他們已經玩兒膩了這種低智商的遊戲。他們的爸爸快被他們的爭吵煩死了，所以他發明了一個新遊戲：由爸爸在紙上畫n個“點”，並用n-1條“邊”把這n個“點”恰好連通（其實這就是一棵樹）。並且每條“邊”上都有一個數。接下來由聰聰和可可分別隨即選一個點（當然他們選點時是看不到這棵樹的），如果兩個點之間所有邊上數的和加起來恰好是3的倍數，則判聰聰贏，否則可可贏。聰聰非常愛思考問題，在每次遊戲後都會仔細研究這棵樹，希望知道對於這張圖自己的獲勝概率是多少。現請你幫忙求出這個值以驗證聰聰的答案是否正確。

Input

輸入的第1行包含1個正整數n。後面n-1行，每行3個整數x、y、w，表示x號點和y號點之間有一條邊，上面的數是w。

Output

以即約分數形式輸出這個概率（即“a/b”的形式，其中a和b必須互質。如果概率為1，輸出“1/1”）。

Sample Input

Sample Output

題解

解法1

點分治。每次選取樹的重心，求出經過它的滿足條件的路徑條數，再對其所有子樹遞歸。

代碼：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define forEdge(x, i) for (int i = pre[(x)]; ~i; i = nxt[i])
typedef long long LL;
const int N = 20050;
int pre[N], nxt[N * 2], to[N * 2], w[N * 2];
int cnt = 0;
int n;
inline void addEdge(int x, int y, int v) {
  to[cnt] = y; w[cnt] = v;
  nxt[cnt] = pre[x]; pre[x] = cnt++;
  to[cnt] = x; w[cnt] = v;
  nxt[cnt] = pre[y]; pre[y] = cnt++;
}
bool vis[N];
LL g[3], f[3];
int siz[N], ssiz[N], sizv;
int getRoot(int x, int fa) {
  int rt = -1;
  siz[x] = 1;
  ssiz[x] = 0;
  forEdge(x, i) {
    int u = to[i];
    if (u == fa || vis[u]) continue;
    int rt1 = getRoot(u, x);
    if (!~rt || ssiz[rt] > ssiz[rt1]) rt = rt1;
    siz[x] += siz[u];
    ssiz[x] = std::max(ssiz[x], siz[u]);
  }
  ssiz[x] = std::max(ssiz[x], sizv - siz[x]);
  if (!~rt || ssiz[rt] > ssiz[x]) rt = x;
  return rt;
}
void mainDfs(int x, int fa, int dis) {
  ++f[dis %= 3];
  forEdge(x, i) {
    int u = to[i];
    if (u == fa || vis[u]) continue;
    mainDfs(u, x, dis + w[i]);
  }
}
LL calc(int x) {
  LL ans = 0;
  g[0] = 1;
  g[1] = g[2] = 0;
  forEdge(x, i) {
    f[0] = f[1] = f[2] = 0;
    int u = to[i];
    if (vis[u]) continue;
    mainDfs(u, x, w[i]);
    ans += g[0] * f[0] + g[1] * f[2] + g[2] * f[1];
    g[0] += f[0]; g[1] += f[1]; g[2] += f[2];
  }
  return ans;
}
LL solve(int x) {
  vis[x] = 1;
  LL ans = calc(x);
  forEdge(x, i)
    if (!vis[to[i]])
      ans += solve(getRoot(to[i], x));
  return ans;
}
LL gcd(LL a, LL b) {
  return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main() {
  memset(pre, -1, sizeof pre);
  int n, x, y, v;
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &v);
    addEdge(--x, --y, v);
  }
  sizv = n;
  LL ans = solve(getRoot(1, -1)) * 2 + n;
  LL t = (LL)n * n;
  LL g = gcd(ans, t);
  printf("%lld/%lld\n", ans / g, t / g);
  return 0;
}

（可能是我寫的不夠wys吧...）

解法2

dp。隨便選一個根，令$f_{i,j} (j \in \{0, 1, 2\})$表示$i$的子樹裏到$i$距離模3為$j$的點數。

求$f_i$時順便把以i為LCA的點對統計了就行了。

附代碼：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define forEdge(x, i) for (int i = pre[(x)]; ~i; i = nxt[i])
typedef long long LL;
const int N = 20050;
int pre[N], nxt[N * 2], to[N * 2], w[N * 2];
int cnt = 0;
int n;
LL f[N][3];
inline void addEdge(int x, int y, int v) {
  to[cnt] = y; w[cnt] = v;
  nxt[cnt] = pre[x]; pre[x] = cnt++;
  to[cnt] = x; w[cnt] = v;
  nxt[cnt] = pre[y]; pre[y] = cnt++;
}
LL dfs(int x, int fa) {
  LL ans = 0;
  f[x][0] = 1;
  forEdge(x, i) if (to[i] != fa) {
    ans += dfs(to[i], x);
    for (int k = 0; k < 3; ++k)
      ans += f[x][k] * f[to[i]][(6 - k - w[i]) % 3];
    for (int k = 0; k < 3; ++k)
      f[x][(k + w[i]) % 3] += f[to[i]][k];
  }
  return ans;
}
LL gcd(LL a, LL b) {
  return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main() {
  memset(pre, -1, sizeof pre);
  int n, x, y, v;
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &v);
    addEdge(--x, --y, v %= 3);
  }
  LL ans = dfs(0, -1) * 2 + n;
  LL t = (LL)n * n;
  LL g = gcd(ans, t);
  printf("%lld/%lld\n", ans / g, t / g);
  return 0;
　

BZOJ2152 聰聰可可