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本文轉載自網易博客：

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四邊形不等式優化_石子合並問題_C++

　　在動態規劃中，經常遇到形如下式的狀態轉移方程：

　　　　m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(i≤k≤j)（min也可以改為max）

　　上述的m(i,j)表示區間[i,j]上的某個最優值。w(i,j)表示在轉移時需要額外付出的代價。該方程的時間復雜度為O(N³)

　　下面我們通過四邊形不等式來優化上述方程，首先介紹什麽是“區間包含的單調性”和“四邊形不等式”

　　　　1、區間包含的單調性：如果對於 i≤i‘<j≤j‘，有 w(i‘,j)≤w(i,j‘)，那麽說明w具有區間包含的單調性。（可以形象理解為如果小區間包含於大區間中，那麽小區間的w值不超過大區間的w值）

　　　　2、四邊形不等式：如果對於 i≤i‘<j≤j‘，有 w(i,j)+w(i‘,j‘)≤w(i‘,j)+w(i,j‘)，我們稱函數w滿足四邊形不等式。（可以形象理解為兩個交錯區間的w的和不超過小區間與大區間的w的和）

　　下面給出兩個定理：

　　　　1、如果上述的 w 函數同時滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那麽函數 m 也滿足四邊形不等式性質

　　　　　 我們再定義 s(i,j) 表示 m(i,j) 取得最優值時對應的下標（即 i≤k≤j 時，k 處的 w 值最大，則 s(i,j)=k）。此時有如下定理

　　　　2、假如 m(i,j) 滿足四邊形不等式，那麽 s(i,j) 單調，即 s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。

　　好了，有了上述的兩個定理後，我們發現如果w函數滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那麽有 s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j) 。

　　即原來的狀態轉移方程可以改寫為下式：

　　　　　m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(s(i,j-1)≤k≤s(i+1,j))（min也可以改為max）

　　由於這個狀態轉移方程枚舉的是區間長度 L=j-i，而 s(i,j-1) 和 s(i+1,j) 的長度為 L-1，是之前已經計算過的，可以直接調用。

　　不僅如此，區間的長度最多有n個，對於固定的長度 L，不同的狀態也有 n 個，故時間復雜度為 O(N^2)，而原來的時間復雜度為 O(N^3)，實現了優化！

　　今後只需要根據方程的形式以及 w 函數是否滿足兩條性質即可考慮使用四邊形不等式來優化了。

　　以上描述狀態用 m(i,j)，後文用的 dp[i][j]，所代表含意是相同的，特此說明。

　　以石子合並問題為例。

　　例如有６堆石子，每堆石子數依次為３ ４ ６ ５ ４ ２

　　因為是相鄰石子合並，所以不能用貪心（每次取最小的兩堆合並），只能用動歸。（註意：環形石子的話，必須要考慮最後一堆和第一堆的合並。）

　　例如：一個合並石子的方案：

　　　　第一次合並 ３ ４ ６ ５ ４ ２ ->７

　　　　第二次合並 ７ ６ ５ ４ ２ ->１３

　　　　第三次合並 １３ ５ ４ ２ ->６

　　　　第四次合並 １３ ５ ６ ->１１

　　　　第五次合並 １３ １１ ->２４

　　總得分＝７＋６＋１１＋１３＋２４＝６１ 顯然，比貪心法得出的合並方案（得分：62）更優。

　　動歸分析類似矩陣連乘等問題，得出遞推方程：

　　　　設 dp[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子合並的最優值，sum[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子的總數量。

　　　　（可以在計算開始先做一遍求所有的 sum[i]，表示求出所有第1堆到第i堆的總數量。則 sum[i][j]=sum[j]-sum[i]。這樣計算比較快。）

　　那麽就有狀態轉移公式：

　　　　這裏 i<=k<j

　　普通解法需要 O（n^3）。下面使用四邊形不等式進行優化。

　　首先判斷是否符合區間單調性和四邊形不等式。

　　　　 i i‘ j j‘

　　　　3 4 6 5 4 2

　　單調性：

　　　　w[i‘,j] = 4+6+5=15 w[i,j‘] =3+4+6+5+4+2=24

　　故w[i‘,j] <= w[i,j‘] 滿足單調性

　　四邊形不等式：

　　　　w[i,j] + w[i‘,j‘] = (3+4+6+5) + (4+6+5+4+2) = 18+21 = 39

　　　　w[i‘,j] + w[i,j‘] = (4+6+5) + (3+4+6+5+4+2) = 15 + 24 = 39

　　　　故 w[i,j] + w[i‘,j‘] <= w[i‘,j] + w[i,j‘]

　　故石子合並可利用四邊形不等式進行優化。

　　利用四邊形不等式，將原遞推方程的狀態轉移數量進行壓縮（即縮小了k的取值範圍）。

　　令 s[i][j]=min{k | dp[i][j] = dp[i][k-1] + dp[k][j] + w[i][j]}，即計算出 dp[i][j] 時的最優的 k 值（本例中尋優為取最小）

　　也可以稱為最優決策時的 k 值。由於決策 s 具有單調性，因此狀態轉移方程中的 k 的取值範圍可修改為 :

　　　　s[i,j-1] <= s[i,j] <= s[i+1,j]

　　　　邊界：s[i,i] = i

　　因為 s[i,j] 的值在 m[i,j] 取得最優值時，保存和更新，因此 s[i,j-1] 和 s[i+1,j] 都在計算 dp[i][j-1] 以及 dp[i+1][j] 的時候已經計算出來了。

　　因此，s[i][j] 即 k 的取值範圍很容易確定。

　　根據改進後的狀態方程，以及 s[i][j] 的定義方程，可以很快的計算出所有狀態的值。計算過程可以如下表所示（類似於矩陣連乘的打表）。

　　狀態表（如果是環形石子合並，需要打2n*2n的表）

　　　　3 4 6 5 4 2

　　例如：

　　　　計算dp[1][3]，由於s[1][2]=1，s[2][3]=2，則k值的取值範圍是1<=k<=2

　　　　則，dp[1][3]=min{dp(1,1)+dp(2,3)+13, dp(1,2)+dp(3,3)+13}=min{10+13, 7+13}=20，將其填到狀態表。同時，由於取最優值的k等於2，則將其填到s表。

　　　　同理，可以計算其他狀態表和s表中的值。

　　　　　　dp[2][4]=min{dp(2,2)+dp(3,4)+15, dp(2,3)+dp(4,4)+15}=min{11+15, 10+15}=25

　　　　　　k=3

　　　　從表中可以看出，當計算dp[2][5]的時候，由於s[ i,j-1]=s[ 2,4]=3，s[ i+1,j]=s[3,5]=3，此時k的取值範圍已經限定為只有一個，大幅縮短了尋找最優解的時間。

　　這裏給出程序代碼：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 
 5 const int N=205;
 6 const int INF=0x7fffffff;
 7 int n;
 8 int a[N],sum[N],dp[N][N],s[N][N];
 9 void f(); 
10 int main()
11 {
12      while(~scanf("%d",&n))
13      {
14          sum[0]=0;
15         for (int i=1;i<=n;i++)
16         {
17             scanf("%d",&a[i]);
18             sum[i]=sum[i-1]+a[i];
19         }
20         f();
21         printf("%d\n",dp[1][n]);
22      }
23      return 0;
24 
25 }
26 void f()
27 {
28      for (int i=1;i<=n;i++) dp[i][i]=0,s[i][i]=i;
29      for (int r=1;r<n;r++)
30      {
31          for (int i=1;i<n;i++)
32         {
33             int j=i+r;
34             if(j>n) break;
35             dp[i][j]=INF;
36             for (int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++)
37             {
38                 if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j])
39                 {
40                     dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j];
41                     s[i][j]=k;
42                 }
43             }
44             dp[i][j]+=sum[j]-sum[i-1];
45         }
46     }
47 }

四邊形不等式優化