數學筆記16——定積分的應用
在對數上的應用
解微分方程 L’(x) = 1/x,直接用積分法求解,得到L(x) = lnx;用微積分第二基本定理,可直接寫作:
如果我們把這個函數作為對數的定義,就可以很容易地解釋對數的性質。
構圖
本例可以得到幾個性質:
L(1) = 0,在該點的斜率L’(1) = 1;L’(x) = 1/x,在x > 0時L’(x) > 0,說明L(x)在x > 0上是遞增的;L’’(x) = - 1/x2 < 0,說明L(x)是凹函數,L’遞減,即L的切線斜率遞減,現在根據這幾個性質作圖(可參考數學筆記7——曲線構圖):
實際上,L(x)將會和y=1相交於點(e, 1),e就是使L(x) = 1時x的值:
L(ab) = L(a) + L(b)
我們嘗試用微積分表示法解釋L(ab) = L(a) + L(b)
這是對數的基本運算公式之一,ln(ab) = ln(a) + ln(b),如果用微積分作為對數的定義,則:
結合定積分的性質:
這樣問題就轉換成了如何證明
這個證明需要一個稱為變量替換法的技巧,通過該方法巧妙地給出證明。
可以將積分的上下限看成b和1放縮了a倍:
令t = au,無窮小量dt = dau = adu,即du放縮了a倍:
下限,當t = a時,L(a) = 1/a = 1/au,故t = a時,u = 1;
上限,當t = ab時,L(ab) = 1/ab = 1/au,故t = ab時,u = b
由此知道了轉換後的積分上下限:
問題得證。
L(1/a) = -L(a)
這是對數的另一個基本運算公式,ln(1/a) = -ln(a)
如果L(1/a) = -L(a)成立,那麽有
令t = u/a,無窮小量dt = du/a,即du放縮了1/a倍:
下限,當t = 1時,L(1) = 1 = 1/(u/a) = a/u ,故t = 1時,u = a;
上限,當t = 1/a時,L(1/a) = a = a/u,故t = 1/a時,u = 1
由此知道了轉換後的積分上下限:
問題得證。
在幾何上的應用
定積分可用來求得兩條曲線間的面積,如下圖所示,求g(x)和f(x)在a,b之間圍成的面積:
我們將待求面積切割成小矩形,矩形的寬度是dx,高度≈f(x) – g(x),所以所求面積:
a,b,f(x),g(x)代表了圖形的四個邊界,知道這些邊界就可以確定面積,也就是求得定積分的值。這些條件都是必須的,如果漏掉上限或下限,就不知道左右邊界,如果連邊界都不知道,如何求出面積?同理不能漏掉f(x)和g(x),它們代表了上下邊界。
示例1
求曲線x = y2和y = x – 2圍成的面積。
很容易求得兩條曲線的交點是(4, 2)和(1, -1),圖形如下:
首先想到利用前面的公式計算面積,但問題在這裏似乎沒那麽簡單。當我們縱向切割矩形時,發現矩形並不總是由x = y2和y = x – 2圍成;在x < 1時,僅由x = y2圍成,如下圖所示:
上圖的綠色虛線將面積分為左右兩塊。
首先將x = y2轉換為x的函數:
右側的面積實際是由y = x1/2 和y = x -2圍成:
左側的面積由 y = x1/2 和 y = -x1/2 圍成:
現在換一種更簡單的解法,我們嘗試橫向切割矩形:
這需要將原函數變為x關於y的函數,相當於將圖像逆時針旋轉90度:
一切都清晰了。
示例2
計算下圖sinx和cosx前兩次相交所圍成的面積
由此可見,定積分可以計算我們過去無法計算的面積。
總結
- 可以看作對數的定義,從而解釋對數的各個性質。
- 可以使用 計算兩條曲線所圍的面積。
作者:我是8位的
出處:http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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