高等數學複習之五(定積分)
補12月3號： -3
第一節 定積分的概念與性質
》定積分的定義
旁白：我們可以觀察到，定積分與不定積分的區別，定積分指定了有限區間，所以在書寫的時候會有上下限，他的目標是求值。而不定積分沒有指定區域，他的目標是求原函式。
》定積分存在定理
定理1: f(x)在[a,b]內連續，則其在[a,b]內可積。
定理2: f(x)在[a,b]上有界，且僅存在有限個間斷點，則其在[a,b]內可積。
》定積分性質
旁白：下面有一堆性質，如果你以x-y座標系的曲線為影象來聯想，將會非常容易理解。
積分中值公式
補12月5號： -1
第二節 微積分基本公式
旁白：這節開始慢慢還原積分和微分的關係，提供了利用原函式來求定積分的依據
》牛頓-萊布尼茨公式
12月7號：
第三節 定積分的換元法和分部積分法
》定積分換元公式
》定積分分部積分公式
第四節 反常積分
旁白：定積分的計算考慮到的是指定上下限範圍內，如果上下限趨向於∞，則就是我們要討論的反常積分，很明顯反常積分也是求值的。
》反常積分的定義
》反常積分的計算
根據牛頓-萊布尼茨公式可知
》瑕點與瑕積分
f(x)在點a的任意臨域內無界，則稱a為函式f(x)的瑕點（也稱為無界間斷點）。無界函式的反常積分就稱為瑕積分。
》瑕積分定義
第五節 反常積分的審斂法 Γ 函式(Gamma函式)
》無窮反常積分收斂法則
旁白：定理1和定理2都好理解，這個定理3怎麼來的呢，其實是根據定理2，令g(x)=M/x^p，當p>1時，g(x)的反常積分收斂，所以f(x)的反常積分收斂。
旁白：定理4是在定理3的基礎上進一步推廣，相對於3來講4更便於證明f(x)反常積分的收斂性
》類似的，無界函式的反常積分可以有一下審斂法
》Γ 函式
旁白：突然而至的伽馬函式讓我感覺錯過了什麼，查找了一下伽馬函式的歷史：
1728年，哥德巴赫在考慮數列插值的問題，通俗的說就是把數列的通項公式定義從整數集合延拓到實數集合，例如數列1,4,9,16…..可以用通項公式 n^2自然的表達，即便 n 為實數的時候，如果進行插值，延拓到實數集上，y=x^2也可以很好的表達。直觀的說也就是可以找到一條平滑的曲線 通過所有的整數點 ，從而可以把定義在整數集上的公式延拓到實數集合。一天哥德巴赫開始處理階乘序列 n! ，那麼延拓到實數集，是否可以計算 2.5!呢？我們把最初的一些 的點畫在座標軸上，確實可以看到，容易畫出一條通過這些點的平滑曲線。但是哥德巴赫無法解決階乘往實數集上延拓的這個問題，於是寫信請教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼爾·伯努利，由於尤拉當時和丹尼爾·伯努利在一塊，他也因此得知了這個問題。而尤拉於1729 年完美地解決了這個問題，由此導致了伽瑪 函式的誕生，當時尤拉只有22歲.
看到這個年齡，著實汗顏，22歲我還在幹嘛呢- -當然，依然不知道這個函式怎麼來的。
》Γ 函式的性質：
1.遞推公式：Γ(s+1) = s*Γ(s)(s>0) ,Γ(n+1)=n!
2.當s->0+時，Γ(s)->+∞
3.餘元公式：
4.
