變量 over 有一個 怎樣 mark 應用 等價關系 計算 空間

將要學習到什麽

酉相合與復對稱矩陣相關知識點.

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酉相合

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??定義 1（酉相合）：假設 \(A,B \in M_n\) 是酉相合的，即對某個酉矩陣 \(U \in M_n\) 有 \(A=UBU^T\).
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酉相似是在正規矩陣或者 Hermite 矩陣的研究中一種天然的等價關系：\(U^*AU\) 是正規的（Hermite 的），如果 \(U\) 是酉矩陣，且 \(A\) 是正規的（Hermite 的）. 酉相合是在復對稱矩陣或者復斜對稱矩陣的研究中的一種天然的等價關系：\(U^TAU\) 是對稱的（斜對稱的），如果 \(U\) 是酉矩陣，且 \(A\) 是對稱的（斜對稱的）. 我們在研究酉相合時將會頻繁使用這樣一個事實：如果 \(A,B \in M_n\)

是酉相合的，那麽 \(A \bar{A}\) 與 \(B\bar{B}\) 是酉相似的（\(AA^*\) 與 \(BB^*\) 也是酉相似的），從而有同樣的特征值. 反過來不一定成立
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在奇異值分解一節裏，我們知道：復對稱矩陣 \(A\) 酉相合於一個非負的對角矩陣，它的對角元素是 \(A\) 的奇異值. 下面我們指出這個結果是與酉相合有關的一種分解的推論：每一個復矩陣都酉相合於一個分塊上三角矩陣，該分塊上三角矩陣的對角分塊是 \(1 \times 1\) 或者 \(2 \times 2\) 的. 第一步我們指出可以怎樣利用 \(A\bar{A}\) 的非負特征值並通過酉相合達到部分的三角化.
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??引理 1： 設給定 \(A \in M_n\)，\(\lambda\) 是 \(A\bar{A}\) 的一個特征值，又設 \(x \in \mathbb{C}^n\) 是 \(A\bar{A}\) 的與 \(\lambda\) 相伴的單位特征向量. 設 \(S=\mathrm{span}\{A\bar{x},x\}\)，它的維數是 \(1\) 或者 \(2\).
??(a) 如果 \(\mathrm{dim} \, S=1\)， 則 \(\lambda\) 是非負的實數，且存在一個單位向量 \(z \in S\)，使得 \(A\bar{z} = \sigma z\)，其中 \(\sigma \geqslant 0\)，且 \(\sigma^2 = \lambda\).
??(b) 假設 \(\mathrm{dim} \, S=2\)， 如果 \(\lambda\) 是非負的實數，那麽存在一個單位向量 \(z \in S\)，使得 \(A\bar{z} = \sigma z\)，其中 \(\sigma \geqslant 0\)，且 \(\sigma^2 = \lambda\). 如果 \(\lambda\) 不是實的，或者是負的實數，那麽對每個 \(y \in S\) 就有 \(A\bar{y} \in S\).
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??證明：(a) 如果 \(\mathrm{dim} \, S=1\)，那麽 \(\{A\bar{x}, x\}\) 是線性相關的，且對某個 \(\mu \in \mathbb{C}\) 有 \(A\bar{x} = \mu x\). 計算 \(\lambda x = A\bar{A} x= A \overline{A\bar{x}} = \bar{\mu} A \bar{x}= \bar{\mu} \mu x = \lvert \mu \rvert ^2 x\)，所以 \(\lvert \mu \rvert ^2 = \lambda\). 選取 \(\theta \in \mathbb{R}\)，使得 \(\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} \theta} \mu = \lvert \mu \rvert\)，又設 \(\sigma = \lvert \mu \rvert\). 那麽
\begin{align}
A(\overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}x}) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta} A \bar{x} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta} \mu x = (\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} \theta} \mu ) (\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} x) = \lvert \mu \rvert (\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} x) = \sigma (\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} x)
\end{align}
所以 $z = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} x $ 是 \(S\) 中一個單位向量，它使得 \(A\bar{z} = \sigma z\)，其中 \(\sigma \geqslant 0\)，且 \(\sigma^2 = \lambda\).
??(b) 如果 \(\mathrm{dim} \, S=2\)，那麽 \(\{A\bar{x}, x\}\) 是線性無關的，從而它是 \(S\) 的一個基. 任何 \(y \in S\) 可以表示成 \(y=\alpha A \bar{x}+\beta x\)（對某個 \(\alpha, \beta \in \mathbb{C}\)），且有 \(A \bar{y} = A(\bar{\alpha}\bar{ A}x+\bar{\beta} \bar{ x}) = \bar{\alpha}A\bar{ A}x+\bar{\beta} A\bar{ x} = \bar{\alpha} \lambda x+ \bar{\beta} A\bar{ x} \in S\). 如果 \(\lambda\) 是非負實數，設 \(\sigma = \sqrt{\lambda} \geqslant 0\)，並設 \(y=A \bar{x} + \sigma x\)，它是非零的，這是由於它是基向量的一個非平凡的線性組合. 那麽
\begin{align}
A\bar{y} = A(\bar{A} x+ \sigma \bar{x} )=A\bar{A} x + \sigma A \bar{x} = \lambda x + \sigma A \bar{x} = \sigma ^2 x+ \sigma A \bar{x} = \sigma (A\bar{x}+ \sigma \bar{x}) = \sigma y
\end{align}
所以 \(z = y / \lVert y \rVert _2\) 是 \(S\) 中一個單位向量，它使得 \(A\bar{z} = \sigma z\)，其中 \(\sigma \geqslant 0\)，且 \(\sigma^2 = \lambda\).
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子空間 \(S \subset \mathbb{C}^n\) 稱為是 \(A\) 共軛不變的，如果 \(A \in M_n\)，且對每個 \(x \in S\) 都有 \(A\bar{x} \in S\). \(A\) 共軛不變性這一概念是 \(A\) 不變量的自然類似. 對每個 \(A \in M_n\)，總存在一個一維的 \(A\)-不變子空間：任何一個特征向量張成的子空間. 上一個引理確保每個 \(A \in M_n\)，總存在一個維數為 \(1\) 或者 \(2\) 的 \(A\) 共軛不變子空間：如果 \(A\bar{A}\) 有一個非負的特征值，則存在一個維數為 \(1\) 的 \(A\) 共軛不變子空間；如若不然，則存在一個維數為 \(2\) 的 \(A\) 共軛不變子空間.
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??定理 1： 設給定 \(A \in M_n\)，以及 \(p \in \{0,1,\cdots, n\}\). 假設 \(A\bar{A}\) 至少有 \(p\) 個非負的實特征值，其中包括 \(\lambda_1,\cdots, \lambda_p\). 則存在一個酉矩陣 \(U \in M_n\)，使得
\begin{align}
A=U \begin{bmatrix} \Lambda & \bigstar \\ 0 & C \end{bmatrix} U^T
\end{align}
其中 \(\Lambda=[d_{ij}] \in M_p\) 是上三角的，對 \(i=1,\cdots, p\) 有 \(d_{ii} = \sqrt{\lambda_i} \geqslant 0\)，且 \(C \in M_{n-p}\). 如果 \(A\bar{A}\) 恰好有 \(p\) 個非負的實特征值，那麽 \(C\bar{C}\) 沒有非負的實特征值.
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??證明：與在 \(p=0\) 的情形一樣，\(n=1\) 的情形也是平凡的，所以我們假設 \(n \geqslant 2\) 且 \(p \geqslant 1\).
考慮如下的化簡：設 \(x\) 是 \(A\bar{A}\) 的一個與非負實特征值 \(\lambda\) 相伴的單位特征向量，並設 \(\sigma = \sqrt{\lambda} \geqslant 0\). 上一個引理確保存在一個單位向量 \(z\)，使得 \(A\bar{z} = \sigma z\). 設 \(V=[z \quad v_2 \quad \cdots \quad v_n] \in M_n\) 是酉矩陣，並考慮酉相合 \(\bar{V}^TA\bar{V}\). 它的位於 \((1,1)\) 處的元素是 \(z^*A\bar{z}=\sigma z^*z = \sigma\). \(V\) 的列的正交性確保 \(\bar{V}^TA\bar{V}\) 的第一列中其它的元素是零：對 \(i=2,\cdots, n\) 有 \(v_i^*A\bar{z} = \sigma v_i^*z=0\). 於是有
\begin{align}
A=V \begin{bmatrix} \sigma & \bigstar \\ 0 & A_2 \end{bmatrix} V^T, \quad A_2 \in M_{n-1}, \quad \sigma= \sqrt{\lambda} \geqslant 0
\end{align}
以及
\begin{align}
A\bar{A}=V \begin{bmatrix} \sigma^2 & \bigstar \\ 0 & A_2 \bar{A}_2 \end{bmatrix} V^* = \begin{bmatrix} \lambda & \bigstar \\ 0 & A_2 \bar{A}_2 \end{bmatrix}
\end{align}
如果 \(A_2 \in M_{n-p}\) 或者 \(A_2 \bar{A}_2\) 沒有非負的實特征值，我們就停止.
如果 \(A_2 \bar{A}_2\) 有一個非負的實特征值，就將上面的化簡應用於 \(A_2\). 經過至多 \(p\) 步化簡，我們就得到結論中所說的分塊形式.
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??推論 1：設給定 \(A \in M_n\).
??(a) 如果存在一個酉矩陣 \(U \in M_n\)，使得 \(A=U \Lambda U^T\)，且 \(\Lambda\) 是上三角的，那麽 \(A \bar{A}\) 的每一個特征值都是非負的.
??(b) 如果 \(A \bar{A}\) 有至少 \(n-1\) 個非負的特征值，那麽就存在一個酉矩陣 \(U \in M_n\)，使得 \(A=U \Lambda U^T\)，其中 \(\Lambda=[d_{ij}]\) 是上三角的，每一個 \(d_{ii} \geqslant 0\) 且 \(d_{11}^2,\cdots, d_{nn}^2\) 是 \(A \bar{A}\) 的特征值，它們全都是非負的實數.
??(c) （Autonne）如果 \(A\) 是對稱的，那麽就存在一個酉矩陣 \(U \in M_n\)，使得 \(A=U\Sigma U^T\)，其中 \(\Sigma\) 是非負的對角矩陣，其對角線上的元素是 \(A\) 的奇異值按照任意你所希望的次序排列.
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對 (c) 做一個說明：如果 \(A\) 是對稱的，\(A\bar{A} = A\bar{A}^T=AA^*\) 的特征值就是 \(A\) 的奇異值的平方，所以 (a) 確保 \(A=U \Lambda U^T\)，其中 \(\Lambda=[d_{ij}]\) 是上三角的，而 \(d_{11},\cdots, d_{nn}\) 則是 \(A\) 的奇異值. 由於 \(\Lambda\) 與對稱矩陣 \(A\) 是酉相合的，故而它本身也是對稱的，從而是對角的. 對任何置換矩陣 \(P\)，我們有 \(A=(UP)(P^T\Lambda P)(UP)^T\)，所以這些奇異值可以按照任何所希望的次序排列.
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最後給一個定理稍加了解.
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??定理： 每一個 \(A \in M_n\) 都與一個復對稱矩陣相似.
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??證明：每一個 \(A \in M_n\) 都與 Jordan 塊的一個直和相似，而每一個 Jordan 塊都與一個對稱矩陣相似. 從而，每一個 \(A \in M_n\) 都與對稱矩陣和一個直和相似.
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應該知道什麽

• 酉相合是在復對稱矩陣或者復斜對稱矩陣的研究中的一種天然的等價關系
• 每個 \(A \in M_n\)，總存在一個維數為 \(1\) 或者 \(2\) 的 \(A\) 共軛不變子空間
• 每一個 \(A \in M_n\) 都與一個復對稱矩陣相似

酉相合與復對稱矩陣