本筆記是ESL14.7節圖14.42的模擬過程。第一部分將以ProDenICA法為例試圖介紹ICA的整個計算過程；第二部分將比較ProDenICA、FastICA以及KernelICA這種方法，試圖重現圖14.42。

ICA的模擬過程

生成數據

首先我們得有一組獨立（ICA的前提條件）分布的數據\(S\)（未知），然後經過矩陣\(A_0\)混合之後得到實際的觀測值\(X\)，即

\[ X= SA_0 \]

也可以寫成
\[ S=XA_0^{-1} \]

用雞尾酒酒會的例子來說就是，來自不同個體的說話聲經過麥克風混合之後得到我們實際接收到的信號。假設有兩組獨立同分布的數據，分布都為n（對應圖14.42中的編號），每組數據個數均為\(N=1024\)

library(ProDenICA)
p = 2
dist = "n" 
N = 1024
A0 = mixmat(p)
s = scale(cbind(rjordan(dist,N),rjordan(dist,N)))
x = s %*% A0

最終我們得到觀測值x。

白化

在進行ICA時，也就是恢復\(X=S\mathbf A\)中的混合矩陣\(\mathbf A\)，都會假設\(X\)已經白化得到\(\mathrm{Cov}(X)=\mathbf I\)，而這個處理過程可以用SVD實現。對於中心化的\(X\)，根據

\[ X=\mathbf{UDV}^T= \sqrt{N}\mathbf U\frac{1}{\sqrt{N}}\mathbf{DV}^T=X^*\frac{1}{\sqrt{N}}\mathbf{DV}^T \]

得到滿足\(Cov(X^*)=\mathbf I\)的\(X^*\)，則

\[ S=XA_0^{-1}=X^*DV^TA_0^{-1}/\sqrt{N} \]

於是經過這個變換之後，混合矩陣變為

\[ A = DV^TA_0^{-1}/\sqrt{N} \]

則
\[ X^*=SA^T \]

用R語言表示如下

x <- scale(x, TRUE, FALSE) # central
sx <- svd(x)    
x <- sqrt(N) * sx$u # satisfy cov(x) = I
target <- solve(A0)
target <- diag(sx$d) %*% t(sx$v) %*% target/sqrt(N) # new mixing maxtrix
 

ProDenICA法

細節不再展開，直接利用ProDenICA中的包進行計算

W0 <- matrix(rnorm(2*2), 2, 2)
W0 <- ICAorthW(W0)
W1 <- ProDenICA(x, W0=W0,trace=TRUE,Gfunc=GPois)$W

得到\(A\)的估計值W1

計算Amari距離

amari(W1, target)

比較兩種算法

這一部分試圖重現Fig. 14.42。

N = 1024

genData <- function(dist, N = 1024, p = 2){
  # original sources
  s = scale(cbind(rjordan(dist, N), rjordan(dist, N)))
  # mixing matrix 
  mix.mat = mixmat(2)
  # original observation
  x = s %*% mix.mat
  
  # central x
  x = scale(x, TRUE, FALSE)
  # whiten x
  xs = svd(x)
  x = sqrt(N) * xs$u # new observations
  mix.mat2 = diag(xs$d) %*% t(xs$v) %*% solve(mix.mat) / sqrt(N) # new mixing matrix
  return(list(x = x, A = mix.mat2))
}

res = array(NA, c(2, 18, 30))
for (i in c(1:18)){
  for (j in c(1:30)){
    data = genData(letters[i])
    x = data$x
    A = data$A
    W0 <- matrix(rnorm(2*2), 2, 2)
    W0 <- ICAorthW(W0)
    # ProDenICA
    W1 <- ProDenICA(x, W0=W0,trace=FALSE,Gfunc=GPois, restarts = 5)$W
    # FastICA
    W2 <- ProDenICA(x, W0=W0,trace=FALSE,Gfunc=G1, restarts = 5)$W
    res[1, i, j] = amari(W1, A)
    res[2, i, j] = amari(W2, A)  
  }
}

res.mean = apply(res, c(1,2), mean)
#offset = apply(res, c(1,2), sd)
#offset = 0
#res.max = res.mean + offset/4
#res.min = res.mean - offset/4
res.max = apply(res, c(1,2), max)
res.min = apply(res, c(1,2), min)

# plot
plot(1:18, res.mean[1, ], xlab = "Distribution", ylab = "Amari Distance from True A", xaxt = ‘n‘, type = "o", col = "orange", pch = 19, lwd = 2, ylim = c(0, 0.5))
axis(1, at = 1:18, labels = letters[1:18])
lines(1:18, res.mean[2, ], type = "o", col = ‘blue‘, pch = 19, lwd=2)
legend("topright", c("ProDenICA", "FastICA"), lwd = 2, pch = 19, col = c("orange", "blue"))
#for(i in 1:18)
#{
#  for (j in 1:2)
#  {
#    color = c("orange", "blue")
#    lines(c(i, i), c(res.min[j, i], res.max[j, i]), col = color[j], pch = 3)
#    lines(c(i-0.2, i+0.2), c(res.min[j, i], res.min[j, i]), col = color[j], pch = 3)
#    lines(c(i-0.2, i+0.2), c(res.max[j, i], res.max[j, i]), col = color[j], pch = 3)
#  }
#}

得到下圖

與圖14.42的右圖中的FastICA和ProDenICA的圖象一致。

試圖繪制出圖中的變化範圍，但由於書中並未指出變換範圍是什麽，嘗試了標準差及最大最小值，但效果不是很好，這是可以繼續優化的一個方面。下圖是用四分之一的標準差作為其波動範圍得到的

待完善

加入kernelICA

獨立成分分析(ICA)的模擬實驗(R語言)