【專題】區間dp
1.【nyoj737】石子合並
傳送門：點擊打開鏈接
描述 有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的數量。現要將N堆石子並成為一堆。合並的過程只能每次將相鄰的兩堆石子堆成一堆，每次合並花費的代價為這兩堆石子的和，經過N-1次合並後成為一堆。求出總的代價最小值。
- 輸入
- 有多組測試數據，輸入到文件結束。
每組測試數據第一行有一個整數n，表示有n堆石子。
接下來的一行有n（0< n <200）個數，分別表示這n堆石子的數目，用空格隔開 - 輸出
- 輸出總代價的最小值，占單獨的一行
- 樣例輸入
-
3 1 2 3 7 13 7 8 16 21 4 18 - 樣例輸出
-
9 239 - 思路：
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j])，dp[i][j]代表從i到j合並的最小值，sum[i][j]代表從i到j的價值和。
區間dp的循環是從小區間到大區間，根據這一規律寫出循環結構。
註意dp[i][i]是0。
代碼：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int dp[205][205],a[205],sum[205][205]; int main() { int n,i,j,k; while(cin>>n) { memset(sum,0,sizeof(sum)); memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));View Codefor(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&a[i]); dp[i][i]=0; sum[i][i]=a[i]; } for(i=1; i<n; i++) { for(j=i+1; j<=n; j++) sum[i][j]+=sum[i][j-1]+a[j]; }for(int len=2; len<=n; len++) for(i=1; i<=n-len+1; i++) { j=i+len-1; for(k=i; k+1<=j; k++) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]); } printf("%d\n",dp[1][n]); } return 0; }
2.【nyoj37】回文字符串
傳送門：點擊打開鏈接
給你一個字符串，可在任意位置添加字符，最少再添加幾個字符，可以使這個字符串成為回文字符串。
樣例輸入
1
Ab3bd
樣例輸出
2
思路1：
利用反串找LCA
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; char s[1005]; int dp[1005][1005]; int main() { int t,i,j; cin>>t; while(t--) { scanf("%s",s); int n=strlen(s); memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp)); dp[0][0]=0; for(i=1; i<n; i++) dp[i][i]=dp[i][i-1]=0; for(int len=2; len<=n; len++) for(i=0; i<=n-len; i++) { j=i+len-1; if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]; else dp[i][j]=min(dp[i+1][j]+1,dp[i][j-1]+1); } printf("%d\n",dp[0][n-1]); } }View Code
思路2：
s[i]=s[j],dp[i][j]=dp[i+1][j-1];若!=，dp[i][j]=min(dp[i+1][j]+1,dp[i][j-1]+1)
解釋一下，假如回文串是「1123」,dp[1][4] = min(dp[1][3],dp[2][4]) + 1,先把「112」看成一個整體，dp[1][3] = 1,就是說再補一個就可以回文，最後加上一個「3」，也就是 +1 操作；「123」同理。
註意dp[i][i]=0,當len=2時，若s[i]=s[j]則dp[i][j]=0,所以初始化dp[i][i-1]也要全部賦為0
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; char s[1005]; int dp[1005][1005]; int main() { int t,i,j; cin>>t; while(t--) { scanf("%s",s); int n=strlen(s); memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp)); dp[0][0]=0; for(i=1; i<n; i++) dp[i][i]=dp[i][i-1]=0; for(int len=2; len<=n; len++) for(i=0; i<=n-len; i++) { j=i+len-1; if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]; else dp[i][j]=min(dp[i+1][j]+1,dp[i][j-1]+1); } printf("%d\n",dp[0][n-1]); } }View Code
3.【nyoj15】括號匹配（二）
傳送門：點擊打開鏈接
描述給你一個字符串，裏面只包含"(",")","[","]"四種符號，請問你需要至少添加多少個括號才能使這些括號匹配起來。
如：
[]是匹配的
([])[]是匹配的
((]是不匹配的
([)]是不匹配的
- 輸入
- 第一行輸入一個正整數N，表示測試數據組數(N<=10)
每組測試數據都只有一行，是一個字符串S，S中只包含以上所說的四種字符，S的長度不超過100 - 輸出
- 對於每組測試數據都輸出一個正整數，表示最少需要添加的括號的數量。每組測試輸出占一行
- 樣例輸入
-
4 [] ([])[] ((] ([)] - 樣例輸出
-
0 0 3 2 - 思路：
- dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j])，特殊情況當s[i]與s[j]匹配時，dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i+1][j-1])
- 註意當截取長度為2且s[i]與s[j]匹配時，不需要添加符號，所以初始化dp[i][i-1]=0，dp[i][i]=1。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; char s[105]; int dp[105][105]; int main() { int t,i,j,k; cin>>t; while(t--) { scanf("%s",s); int n=strlen(s); memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp)); dp[0][0]=1; for(i=1; i<n; i++) { dp[i][i]=1; dp[i][i-1]=0; } for(int len=2; len<=n; len++) for(i=0; i<=n-len; i++) { j=i+len-1; if(s[i]==‘[‘&&s[j]==‘]‘||s[i]==‘(‘&&s[j]==‘)‘) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]; for(k=i; k+1<=j; k++)//這裏不是else dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j],dp[i][j]); } printf("%d\n",dp[0][n-1]); } }View Code
4.【nyoj746】整數劃分（四）
傳送門：點擊打開鏈接
給出兩個整數 n , m ,要求在 n 中加入m - 1 個乘號，將n分成m段，求出這m段的最大乘積
- 輸入
- 第一行是一個整數T，表示有T組測試數據
接下來T行，每行有兩個正整數 n，m ( 1<= n < 10^19, 0 < m <= n的位數)； - 輸出
- 輸出每組測試樣例結果為一個整數占一行
- 樣例輸入
-
2 111 2 1111 2 - 樣例輸出
-
11 121思路：
由於最大的劃分所有的乘號都是固定的，可以從前到後以此找出所有乘號的位置，找出最優子結構（從結論入手向前拆分問題）。
- dp[i][j]代表0到i個數字中添加j個乘號，要求dp[n][m]即求dp[k][m-1]*a[k+1][i],應用到所有dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*a[k+1][i])，a[i][j]是從i到j的組合數。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; LL dp[25][25],a[25][25]; char s[25]; int main() { LL n,m,t,i,j,k; cin>>t; while(t--) { scanf("%s%lld",s,&m); n=strlen(s); memset(dp,0,sizeof(dp)); for(i=0; i<n; i++) a[i][i]=s[i]-‘0‘; for(i=0; i<n-1; i++) for(j=i+1; j<n; j++) a[i][j]=a[i][j-1]*10+(s[j]-‘0‘); for(i=0; i<n; i++) dp[i][0]=a[0][i]; for(j=1; j<=m-1; j++) for(i=1; i<n; i++) for(k=0; k+1<=i; k++) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*a[k+1][i]); printf("%lld\n",dp[n-1][m-1]); } return 0; }View Code
【專題】區間dp