MIT 線性代數導論 第二十二講:矩陣對角化和冪
阿新 • • 發佈:2018-12-16
本講的主要內容
- 對角化矩陣的概念以及方法
- 計算矩陣的冪的對角化方法
- 幾個例子
對角化矩陣、計算矩陣的冪
對於一個有 個不同特徵向量(其實就是說所有的特徵值均不同)的矩陣 ,講它的 個特徵向量組成一個矩陣 ,如果我們計算 可以有如下過程:
一定注意上面的式子成立的條件是矩陣有 個不同的特徵向量,如果我們將上面的結論繼續做變化:
那麼現在就可以拿到這個形式很好看的等式了。使用這個等式我們可以簡化很多矩陣的冪的計算,例如計算 :
利用對角化計算差分方程
對於矩陣 ,如果有列向量 總有 ,現在已知 ,如何求解 ? 首先展開這個遞推式: 然後把矩陣對角化(當然,這個問題的前提是矩陣可以對角化),有:,這時候,前提條件中的 個線性無關的特徵向量就有用了, 對於 這個維向量,可以用這 個特徵向量來表示,可以有: 其中 跟前面對角化中的矩陣是一樣的,都是特徵向量組成的矩陣,把這個式子代入前面的 ,就可以得到最終的結論: 計算這個表示線性組合的向量 還是比較簡單的,所以計算的過程簡單了一些。
計算Fibonacci 數列
這一個例子是上面的一個應用,首先我們知道斐波那契數列是: 也就是: 為了使用對角化的知識計算,令 ,構造差分方程組: 這時候,我們可以得到: 這樣,我們就構造了上面一樣的遞推形式,接下來按照對角化矩陣 然後就可以計算 就可以快速計算了。
用線性代數解決斐波那契數列,感覺真的是…Amazing!,學數學的人真厲害啊。
以上~