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MIT 線性代數導論 第二十四講~二十九講的概念梳理

最後的這幾講很多是介紹一些概念以及應用和複習總結,所以簡單記錄下一下,不再詳細展開。
主要內容有:

  • 馬爾可夫矩陣以及傅立葉級數的概念
  • 實對稱矩陣以及正定矩陣的介紹
  • 相似矩陣的概念
  • 正定矩陣的概念

馬爾可夫矩陣

馬爾可夫矩陣(Markov Matrix) :

  • 首先是一個 n n 階的方陣(其實在之後的幾講中,討論的都是方陣)
  • 方陣中的每個元素都非負
  • 每一列元素的和都等於1

馬爾可夫矩陣有兩條重要的性質:

  • 一定有有特徵值等於1
  • 其餘的所有的特徵值的絕對值都小於1

傅立葉級數

對於一個 n n 維的向量 v v

,如果有一組此空間的標準正交基 ( q 1 , q 2 , .
. . q n ) (q_{1}, q_{2},...q_{n})
,則這個向量對於這組基的投影可以表示為:
v = x 1 q 1 + x 2 q 2 + . . . + x n q n v = x_{1}q_{1} + x_{2}q_{2}+...+x_{n}q_{n}
那麼,可歐律一個問題,如果要求的其中某一個分量上的分解量,比如求 x i x_{i} , 那麼可以將上面的式子左右同時乘以 q i T q_{i}^{T} ,從而得到:
q i T v = x 1 q i T q 1 + x 2 q i T q 2 + . . . + x i q i T q i + . . . + x n q i T q n = x i q_{i}^{T} v= x_{1}q_{i}^{T}q_{1} + x_{2}q_{i}^{T}q_{2} + ...+ x_{i}q_{i}^{T}q_{i} +...+x_{n}q_{i}^{T}q_{n} = x_{i}
,如果使用 Q = ( q 1 , q 2 , . . . q n ) Q=(q_{1}, q_{2},...q_{n}) ,則 Q Q 是一個正交陣,則 ( x 1 , x 2 , . . , x n ) T = Q 1 v (x_{1}, x_{2},..,x_{n})^{T} = Q^{-1}v
有了這個方法,再來看傅立葉級數,它的函式表示為:
f ( x ) = a 0 + a 1 c o s ( x ) + b 1 s i n ( x ) + a 2 c o s ( 2 x ) + b 2 s i n ( 2 x ) + . . . . f(x) = a_{0} + a_{1}cos(x) + b_{1}sin(x)+a_{2}cos(2x) + b_{2}sin(2x)+....
這裡可以把每一項看作是空間的一個元素設兩個函式的內積為: 0 2 π f ( x ) g ( x ) d ( x ) \int_{0 }^{2\pi}f(x)g(x)d(x)
,可以得到,傅立葉級數中的每兩項都是相互正交的,例如:
0 2 π s i n ( x ) c o s ( x ) d ( x ) = 0 \int_{0}^{2\pi}sin(x)cos(x)d(x) = 0
,這裡的處理跟上面的很相似,所以給我們的啟發就是,如果我們要求傅立葉級數的某一項係數,a_{i},b_{i},可以將函式進行投影,例如,求a_{1}:
0 2 π c o s ( x ) f ( x ) d ( x ) = a 0 0 2 π c o s ( x ) d x + a 1 0 2 π c o s ( x ) 2 d x + b 1 0 2 π c o s ( x ) s i n ( x ) d x + . . . . \int_{0}^{2\pi}cos(x)f(x)d(x) = a_{0}\int_{0}^{2\pi}cos(x)dx+a_{1}\int_{0}^{2\pi}cos(x)^{2}dx+b_{1}\int_{0}^{2\pi}cos(x)sin(x)dx+....